北京市丰台区2021届上学期初中九年级期末练习数学试卷

本试卷共三道大题，25道小题，满分100分。考试时间120分钟。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. 函数y=（x+1）²-2的最小值是

A. 2 B. -2 C. 1 D. -1

2. 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

3. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为

A. B. 3 C. 6 D. 9

4. 点A（-1，y₁），B（1，y₂），C（2，y₃）是反比例函数y=图象上的三个点，则y₁，y₂，y₃的大小关系是

A. y₃<y₂<y₁ B. y₁<y₃<y₂ C. y₂<y₃<y₁ D. y₃<y₁<y₂

5. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示。若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为

A. 2分米 B. 3分米 C. 4分米 D. 5分米

6. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：

下列说法正确的是

A. 抛物线G的开口向下

B. 抛物线G的对称轴是直线x=-2

C. 抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）

D. 当x>-3时，y随x的增大而增大

7. 如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD。则下列结论不一定成立的是

A. ∠ACB=90°

B. ∠BDC=∠BAC

C. AC平分∠BAD

D. ∠BCD+∠BAD=180°

8. 函数y=+的图象如图所示，若点P₁，（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是

A. x₁≠0，x₂≠0

B. y₁>，y₂>

C. 若y₁=y₂，则|x₁|=|x₂|

D. 若y₁<y₂，则x₁<x₂

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 将抛物线y=x²向下平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式是_________。

10. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED=1：2，则S_△AOE：S_△COB=____________。

11. 某农科院在相同条件下做了某种苹果幼树移植成活率的试验，结果如下表：

根据以上数据，估计该种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为_________。

12. 抛物线y=x²+bx+4与x轴有且只有1个公共点，则b=_________。

13. 如图，☉O是△ABC的外接圆，D是的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形_________。

14. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端。小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是__________m。

15. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，OD⊥BC于点D。下面是借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线的步骤：

①延长OD交于点M；

②连接AM交BC于点N。

所以∠BAN=∠CAN。

即线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线。

请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是___________。

16. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）。历史上求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术“相似。数学家阿尔·卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，再将它们的平均数作为2的近似值。

当n=1时，下图是☉O及它的内接正六边形和外切正六边形。

（1）若☉O的半径为1，则☉O的内接正六边形的边长是___________；

（2）按照阿尔·卡西的方法，计算n=1时的近似值是___________。（结果保留两位小数）

（参考数据：≈1.732）

三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题每小题6分，23-25题每小题7分）

17. 已知二次函数y=x²-4x+3。

（1）求二次函数y=x²-4x+3图象的顶点坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y=x²-4x+3的图象；

（3）当1<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围。

18. 如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且AD·AB=AE·AC。

（1）求证：△ADE~△ACB；

（2）若∠B=55°，∠ADE=75°，求∠A的度数。

19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）。

（1）画出△A₁OB₁，使△A₁OB₁与△AOB关于点O中心对称；

（2）以点O为位似中心，将△AOB放大为原来的2倍，得到△A₂OB₂，请画出一个满足条件的△A₂OB₂。

20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，2），点D是矩形OABC对角线的交点。已知反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N。

（1）求点D的坐标和k的值；

（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围。

21. 如图，AC与☉O相切于点C，AB经过☉O上的点D，BC交☉O于点E，DE∥OA，CE是☉O的直径。

（1）求证：AB是☉O的切线；

（2）若BD=4，CE=6，求AC的长。

22. 在倡议“绿色环保，公交出行“的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究。他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：”10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元“，如下图。

小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：

①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推。

②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折。

请根据上述信息，回答下列问题：

（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为__________元，他使用学生卡实际支付__________元；

（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村站上车的概率为__________。

23. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx（a≠0）过点（4，0）。

（1）用含a的代数式表示b；

（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围。

24. 已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一定点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF。

（1）求证：∠FAB=∠BCF；

（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM。

①依据题意补全图形；

②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明。

25. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ=kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点。

已知点A（-2，2），B（2，2）。

（1）在点C（1，0），D（0，-2），E（1，1）中，线段AB的2倍等距点是______________；

（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；

（3）已知直线y=-x+b与x轴，y轴的交点分别为点F，G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围。

参考答案

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. Y=x²-2 10. 1：9 11. 0.881

12. b=±4 13. △BDA，△BCE 14. 8

15. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等

16. 1；3.23

三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题6分，23-25题每小题7分）

17. 解：

（1）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-l，

∴该二次函数图象顶点坐标为（2，-1）。………………………………………2分

（2）如图：

………………………………………4分

（3）-l≤y<3。………………………5分

18. （1）证明：

∵AD·AB=AE·AC，∴。

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB。..…………………2分

（2）解：

∵△ADE∽△ACB，

∴∠ADE=∠ACB。..…………………3分

∵∠ADE=75°，∴∠ACB=75°。

又∵∠B=55°，

∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°。…5分

19. 解：

（1）如图：

…………………………………………2分

（2）如图：

…………………………………………5分

20. 解：

（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，

∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，

又∵A（4，0），C（0，2），

∴点D的坐标为（2，1）。.……………1分

∵反比例函数y=的图象经过点D，

∴1=，解得：k=2。………………2分

（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4。

∵点M在反比例函数y=的图象上，

∴点M的坐标为（1，2），……………3分

∴1≤x≤4。.…………………………5分

21. （1）证明：连接OD。

∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，

∵DE∥OA，

∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，

∴∠AOC=∠AOD。

在△AOD和△AOC中，

∴△AOD≌△AOC，………………1分

∴∠ADO=∠ACO。

∵AC与☉O相切于点C，

∴∠ADO=∠ACO=90°，…………2分

又∵OD是☉O的半径，

∴AB是☉O的切线。…………………3分

（2）解：∵CE=6，∴OE=OD=OC=3。

在Rt△ODB中，BD=4，OD=3，

∴BD²+OD²=BO²，

∴BO=5，

∴BC=BO+OC=8. ……………………4分

∵☉O与AB和AC都相切，∴AD=AC.

在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，

即：AC²+8²=（AC+4）²，

解得：AC=6. …………………………5分

22. 解：

（1）3，0.75；………………………4分

（2）。………………………………6分

23. 解：

（1）∵抛物线y=ax²+bx过点（4，0），

∴0=16a+4b，

∴b=-4a. ……………………………2分

（2）∵点A（0，a）绕原点O顺时针旋转90°得到点B，

∴点B的坐标为（a，0），……………3分

∵点B向右平移2个单位长度得到点C，

∴点C的坐标为（a+2，0）。…………4分

（3）（i）当a>0时，

抛物线y=ax²-4ax开口向上，与x轴交于两点（0，0），（4，0）.

若线段AC与抛物线有公共点（如图1），

只需满足：

，解得：a≥2. …………5分

图1

（ii）当a<0时，

抛物线y=ax²-4ax开口向下，与x轴交于两点（0，0），（4，0）.

若线段AC与抛物线有公共点（如图2），

只需满足：

，解得：a≤-2. …………6分

图2

综上所述，a的取值范围为a≥2或a≤-2. ……………………………7分

24. （1）证明：

∵CF⊥AE，∴∠EFC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABE=90°，

∴∠EFC=∠ABE，

又∵∠AEB=∠CEF，

∴∠FAB=∠BCF。……………………2分

（2）①如图：

………………………………………3分

②AF+BM=CF。…………………4分

证明：在CF上截取点N，使得CN=AF，

连接BN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB.

在△AFB和△CNB中，

∴△AFB≌△CNB， ………………5分

∴∠ABF=∠CBN，FB=NB，

∴∠FBN=∠ABC=90°，

∴△FBN是等腰直角三角形，

∴∠BFN=45°。

∵点B关于直线AE的对称点是点M，

∴FM=FB，

∵CF⊥AE，∠BFN=45°，

∴∠BFE=45°，

∴∠BFM=90°，

∴∠BFM=∠FBN，

∴FM∥NB，

∵FM=FB，FB=NB，

∴FM=NB，

∴四边形FMBN为平行四边形，……6分

∴BM=NF，

∴AF+BM=CF. ………………………1分

（其它方法酌情给分）

25. 解：

（1）点C和点E；………………… 2分

（2）线段AB的所有2倍等距点形成的图形为以点O为圆心，以1和为半径的圆围成的区域（包括边界），如图所示：

………………………………………4分

该区域的面积为：

S=×（）²–×1²=. …………………………………5分

（3）-2≤b≤-1或l≤b≤2。……7分