北京市海淀区2021届上学期初中九年级期末练习数学试卷

本调研卷满分100分，考试时间120分钟。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. 已知反比例函数y=的图象经过点A（2，3），则k的值为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈“，至今已有4000多年的历史。2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战。截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是

A B C D

3. 不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为

A. B. C. D. 1

4. 如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC。若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为

A. 9 B. 6 C. 3 D.

5. 在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是

A. x-l=0 B. x²+x=0 C. x²-1=0 D. x²+1=0

6. 如图，☉O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为

A. B. C. D.

7. 已知二次函数y=ax²+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是

A. -4 B. -2 C. 0 D. 2

8. 下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是

A. 长度为的线段 B. 斜边为3的直角三角形

C. 面积为4的菱形 D. 半径为，圆心角为90°的扇形

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是________。

10. 若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y=的图象上，则a，b的大小关系是：a______b（填“>”、“=”或“<“）。

11. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与☉O相切，则AC与☉O的位置关系为________（填“相交“、“相切“或“相离“）。

12. 关于x的一元二次方程x²-3x+m=0有一个根是x=1，则m=________。

13. 某城市启动“城市森林“绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率。在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：

估计树苗移植成活的概率是________（结果保留小数点后一位）。

14. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部。若眼睛距离地面AB=1.5m，同时量得BC=2m，CD=12m，则旗杆高度DE=________m。

15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为________。

16. 已知双曲线y=-与直线y=kx+b交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）。

（1）若x₁+x₂=0，则y₁+y₂=_________；

（2）若x₁+x₂>0时，y₁+y₂>0，则k_______0，b_______0（填“>”，“=”或“<“）。

三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. 解方程：x²-4x+3=0。

18. 如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，AC平分∠BAD。

（1）证明：△ABC∽△ACD；

（2）若AB=4，AC=5，求BC和CD的长。

19. 如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整。

图1 图2

如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm。

作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点。其推理依据是：_____________。

经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=________cm；

用含r的代数式表示OD，OD=_________cm。

在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：

r²=____________，

解得r=75。

通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮。

20. 文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔。店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：

（1）用等式写出m，n所满足的数量关系_________；

（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：

①”盒中没有混入’HB’铅笔“是___________事件（填“必然“、“不可能“或“随机“）；

②若”盒中混入1支‘HB’铅笔“的概率为，求m和n的值。

21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD。已知点B在反比例函数y=（x>0）的图象上。

（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；

（2）判断点C是否在此函数图象上；

（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N。若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围。

22. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，以CD为直径的☉O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA。

（1）求证：OA=OB；

（2）连接AD，若AD=，求☉O的半径。

23. 在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y₁）在二次函数y=x²+bx+c的图象上，点Q（m，y₂）在一次函数y=-x+4的图象上。

（1）若二次函数图象经过点（0，4），（4，4）。

①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；

②判断m<0时，y₁与y₂的大小关系；

（2）若只有当m≥l时，满足y₁·y₂≤0，求此时二次函数的解析式。

24. 已知∠MAN=45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD=CB。过点D作DE⊥AM于点E。

图l 图2

（1）当点C运动到如图l的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是___________；

（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE；

（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上?若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由。

25. 如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点。

图1 图2

在平面直角坐标系xOy中：

（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y=x+1上。

①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点_______是△AOB关于点B的内联点；

②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；

（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F。若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围。

参考答案

一、选择题
（本题共24分，每小题3分）

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 不唯一，例如：

10. ＞

11. 相切

12. 2

13. 0.9

14. 9

15. 45°； (注：第一个空2分，第二个空1分)

16. （1）0；（2）＜；＞. （每空1分）

三、解答题（本题共52分，第17~20题，每题5分，第21~23题，每题6分，第24~25题，每小题7分）

17. 解：方法一：

.

方法二：

.

,

.

方法三：

或

.

18. （1）证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC.

∵∠B=∠ACD=90°，

∴△ABC∽△ACD.

（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，

∵AB=4，AC=5，

∴.

∵△ABC∽△ACD，

∴.

∴，

∴.

19. 垂直于弦的直径平分弦；

45；

；

.

20. （1）.

（2）①随机

②解：∵盒中混入1支‘HB’铅笔的概率为，

∴.

∵，

∴.

21. （1）∵
点B（4，2）在反比例函数的图象上，

∴
，即该函数的解析式为.

如图

（2）点C在反比例函数的图象上.

（3）
或

22. （1）证明：在⊙O中，连接.

∵
直线AB与⊙O相切于点E，

∴
OE⊥AB.

∵
E是AB中点，

∴
OA=OB.

（2）解：∵
OA=OB，

∴
∠OAE=∠B.

∵∠ACB=90°，

∴AE，AC是⊙O的切线，

∴∠OAE=∠OAC. （切线长定理）

∴
∠OAE=∠OAC=∠B.

∵
∠OAE+∠OAC+∠B=90°，

∴
∠OAC=30°.

设⊙O的半径为r，则CD=2r

在Rt△AOC中，AO=2OC=2r.

∴
.

在Rt△ACD中，，，

∴
，解得.

∴
⊙O的半径为1.

23. （1）

①
∵
二次函数的图象过点（0，4），（4，4），

∴，.

∴
.

∴
二次函数的解析式为.

∵
，

∴
该二次函数的顶点坐标为（2，0）.

②
，理由如下：

法1：将分别代入二次函数和一次函数解析式，

得，.

∴
.

∵
，

∴
.

∴
.

∴
.

∴
.

法2：在坐标系中画出这两个函数的图象，如下图，

结合图象可得，当时，.

（2）∵只有当时，，

∴当时，.

而点在一次函数图象上，

①
当时，，而，因此；

②
当时，，而，因此；

③
当时，，而，因此；

∵点在二次函数的图象上，

∴当或4时，.

∴平移后的二次函数解析式为

24. （1）AC=DE；

（2）补全图形，

证明：

法1：在射线AM上取点F，使AC=CF，

∵
AC=CF，BC=CD，∠BCA=∠DCF，

∴
△ABC≌△FDC.

∴
∠DFE=∠A=45°.

∵
DE⊥AM，

∴
DE=EF.

∵
AF=AE+EF=2AC，

∴ 2AC=AE+DE.

法2：作BF⊥AM于点F，

∵
BF⊥AM，DE⊥AM，

∴
∠BFC=∠DEC=90°.

∵
CD=CB，∠BCF=∠DCE，

∴
△BCF≌△DCE.

∴
CF=CE，BF=DE.

∵
∠MAN=45°，

∴
AF=BF=DE.

∴
AE+DE=AF+FE+DE=2(AF+FC)=2AC.

结论得证.

（3）点E能在射线AM的反向延长线上，如图所示，

此时2AC+AE=DE.

25. （1）①，.

②
过点B作BH⊥x轴于点H，如图，

根据定义，若点H在线段OA上，则H为△AOB关于点B的一个内联点；若点H不在线段OA上，则对于线段OA上任意一点Q，其关于BH的对称点即为以B为圆心，BQ为半径的圆与直线AB的另一个交点，而点不在线段OA上，此时△AOB关于点B的内联点不存在.

因此要满足题意，H点必须在OA上.

∴点B的横坐标的取值范围是.

由于点B在直线上，

所以点B的纵坐标n的取值范围是.

（2）或.