本试卷共150分。考试时长120分钟。
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 抛物线
的准线方程是
A. 
B. 
C. 
D.
2. 在复平面内，复数
对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在
的展开式中，
的系数为
A. 5 B. －5 C. 10 D. －10
4. 已知直线
，点
和点
，若
∥AB，则实数a的值为
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
5. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
6. 已知向量
满足
，且
，则
＝
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
7. 已知
是两个不同的平面，”
∥
“的一个充分条件是
A. 
内有无数条直线平行于
B. 存在平面
C. 存在平面
，且
∥n
D. 存在直线
8. 已知函数
，则
A. 
是偶函数 B. 函数
的最小正周期为
C. 曲线y＝
关于直线
对称 D.
9. 数列
的通项公式为
，前n项和为
。给出下列三个结论：
①存在正整数
，使得
；
②存在正整数
，使得
；
③记
，则数列
有最小项，其中所有正确结论的序号是
A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②③
10. 如图所示，在圆锥内放入两个球O1，O2，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为⊙C1，⊙C2，这两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2，丹德林（G．Dandelin）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球，若圆锥的母线与它的轴的夹角为30°，⊙C1，⊙C2的半径分别为1，4，点M为⊙C2上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是
A. 6 B. 8 C. 
D.
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
11. 在”互联网＋”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革。某校高一、高二和高三学生人数如图所示，采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取的样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为___________。
12. 设等比数列
的前n项和为
，若
成等差数列，则数列
的公比为____________。
13. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
，则该双曲线的渐近线方程为____________；
＝__________。
14. 已知函数
是定义域为R的奇函数，且
时，
，则a＝________，
的值域是___________。
15. 已知圆
，直线
，点
，点
。
给出下列四个结论：
①当
时，直线
与圆P相离；
②若直线
是圆P的一条对称轴，则
；
③若直线
上存在点A，圆P上存在点N，使得∠MAN＝90°，则a的最大值为
；
④N为圆P上的一个动点，若∠MAN＝90°，则t的最大值为
。
其中所有正确结论的序号是__________。
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. （本小题共15分）
在三棱柱
中，侧面
为矩形，AC⊥平面
分别是棱
的中点。
（Ⅰ）求证：AE∥平面
；
（Ⅱ）求证：CC1⊥平面ABC；
（Ⅲ）若
，求直线AB与平面
所成角的正弦值。
17.（本小题共14分）
若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）求
和a的值。
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
；
条件④：
。
18.（本小题共14分）
某公司在2013～2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年生产台数（单位：万台） | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 10 | a |
年返修台数（单位：台） | 32 | 38 | 54 | 58 | 52 | 71 | 80 | 75 | b |
年利润（单位：百万台） | 3.85 | 4.50 | 4.20 | 5.50 | 6.10 | 9.65 | 10.00 | 11.50 | c |
注：年返修率＝
。
（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元／台的概率；
（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀，现从2013~2020年中随机选出3年，记
表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为
，
。若
，其中
表示
这两个数中最大的数，请写出a的最大值和最小值。（只需写出结论）
（注：
，其中
为数据
的平均数）
19. （本小题共14分）
已知椭圆
的离心率为
，且经过点
。
（Ⅰ）求椭圆W的方程及其长轴长；
（Ⅱ）A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交x轴于点Q。若△ACQ的面积比△BDQ的面积大
，求点D的坐标。
20.（本小题共14分）
已知函数
。
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，求证：
；
（Ⅲ）设
，若存在
使得
，求a的最大值。
21.（本小题共14分）
设A是由
个实数组成的n行n列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所有数的和是非负数，则称数表A是”n阶非负数表”。
（Ⅰ）判断如下数表
是否是”4阶非负数表”；
（Ⅱ）对于任意”5阶非负数表”A，记
为A的第s行各数之和
，证明：存在
，使得
；
（Ⅲ）当
时，证明：对于任意”n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k列交叉处的
个数之和不小于k。
【试题答案】
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | B | A | D | B | A | C | D | C | C | A |
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
答案 | 12 | 3或－1 |
－2 | 1 （－1，1） | ①②④ |
三、解答题：共6小题，共85分。
16.（本小题共15分）
解：（Ⅰ）在三棱柱
中，
∥
，且
，
因为点D，E分别是棱
的中点，
所以AD∥
，且
，
所以四边形
是平行四边形，
所以AE∥
。
又因为
平面
平面
，
所以AE∥平面
。
（Ⅱ）因为AC⊥平面
平面
，
所以AC⊥
，
因为侧面
为矩形，
所以
⊥BC，
又因为
平面ABC，
平面ABC，
所以
⊥平面ABC。
（Ⅲ）分别以
所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系
，由题意得
，
。
所以
。
设平面
的法向量为
，则
即
令
，则
，
于是
，
所以
，
所以，直线AB与平面
所成角的正弦值为
。
17.（本小题共14分）
选择①②③
解：（Ⅰ）因为
，
由正弦定理得
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以∠A＝
。
（Ⅱ）在△ABC中，
，
所以
，
所以
∠C
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
。
由正弦定理得
，即
。
因为
，
所以
。
选择①②④
解：（Ⅰ）因为
，
由正弦定理得
，
在△ABC中，
，
所以
，
所以∠A＝
。
（Ⅱ）在△ABC中，
，
所以
，
所以
∠C
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
。
因为
，
所以
。
由正弦定理得
。
18.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由图表知，2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年，
所以从2013~2020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为
。
（Ⅱ）由图表知，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，所以
的所有可能取值为1，2，3，
，
所以
的分布列为
| 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
故
的数学期望
。
（Ⅲ）a的最大值为13，最小值为7。
19.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为椭圆W经过点
，
所以
，
因为椭圆W的离心率为
，
所以
，其中
，
所以
所以，椭圆W的方程为
，长轴长
。
（Ⅱ）当直线CD的斜率不存在时，由题意可知
，
由（Ⅰ）可知
，
所以△ACQ的面积为
，△BDQ的面积为
，
显然△ACQ的面积比△BDQ的面积大
。
当直线CD的斜率存在时，由题意可设直线CD的方程为
，
且
，
令
，得
，所以
，
由
得
。
依题意可得点D的纵坐标
，
因为点D在x轴下方，所以
，即
，
所以△ACQ的面积为
，
△BDQ的面积为
。
因为△ACQ的面积比△BDQ的面积大
，
所以
。
此方程无解。
综上所述，点D的坐标为
。
方法二
因为点D在x轴下方，所以点Q在线段AB（不包括端点）上，
由（Ⅰ）可知
，
所以△AOC的面积为
。
因为△ACQ的面积比△BDQ的面积大
，
所以点Q在线段OB（不包括端点）上，且△OCQ的面积等于△BDQ的面积，
所以△OCB的面积等于△BCD的面积，
所以OD∥BC。
设
，
则
，
因为点D在椭圆W上，
所以
，
所以
所以点D的坐标为
。
20.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为
，
所以
，
令
，得
，
在区间
上的情况如下：
|
|
|
|
| ＋ | 0 | － |
| ↗ | 极大 | ↘ |
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
。
（Ⅱ）因为
，所以
，
所以
，
①当
时，
，所以
；
②当
时，
，所以
。
所以
在
内单调递增，在
内单调递减，
所以
。
（Ⅲ）因为
，所以
，
①当
时，
，即存在1，使得
；
②当
时，由（Ⅱ）可知，
，即
，
所以
。
所以，对任意
，即不存在
使得
，
综上所述，a的最大值为
。
21.（本小题共14分）
解：记
为数表A中第i行第j列的数，
为数表A中所有数的和，
为数表A中前k行k列交叉处各数之和。
（Ⅰ）
是”4阶非负数表”；
不是”4阶非负数表”。
（Ⅱ）由题意知
，且数表A是”5阶非负数表”，
所以
为奇数，且
，
不妨设
，
①当
时，因为
为奇数，所以
，
所以
。
②当
时，因为
为奇数，所以
，
所以
，
所以
。
又因为
均为奇数，
所以
。
（Ⅲ）（1）先证明数表A中存在
行n列
，其所有数的和大于等于0，
设
，由题意知
，
不妨设
，
由于
，
所以
。
（2）由（1）及题意不妨设数表A前
行n列
，其所有数的和大于等于0。
下面考虑前
行，证明存在
行k列，其所有数的和大于等于k，
设
，则
，
不妨设
，
因为
为
1个奇数的和，所以
为奇数
。
①当
时，因为
为奇数，所以
，
所以
。
②当
时，因为
为奇数，所以
，
所以
，
所以
。
（3）在（2）所设数表A下，证明前
行前k列中存在k行k列，其所有数的和
，
设
，则
，
不妨设
。
①当
时，
；
②当
时，
，
所以
，所以
。
综上所述，对于任何”n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k列交叉处的所有数之和不小于k。