北京市西城区2021届上学期高三年级期末考试数学试卷

本试卷共150分。考试时长120分钟。

第一部分
（选择题
共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x|-1<x<3}，B={x|0<x≤4}，则AB=

A. （0，3） B. （-1，4） C. （0，4] D. （-1，4]

2. 在复平面内，复数z所对应的点的坐标为（1，-1），则z·=

A. 2 B. -2i C. D. 2i

3. 已知f（x）为奇函数，其局部图象如图所示，那么

A. f（2）=2 B. f（2）=-2

C. f（2）>-2 D. f（2）<-2

4. 已知A（4，8），B（2，4），C（3，y）三点共线，则y的值为

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

5. 已知双曲线–=1的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为

A. B. y=2x

C. D. y=±x

6. 已知半径为2的圆经过点（1，0），其圆心到直线3x-4y+12=0的距离的最小值为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 已知函数f（x）=sin2x，x∈[a，b]，则“b-a≥“是“f（x）的值域为[-1，1]”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=Wlog2（1+），其中C为最大数据传输速率，单位为bit／s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比。香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用。

当=99，W=2000Hz时，最大数据传输速率记为C_l；当=9999，W=3000Hz时，最大数据传输速率记为C₂，则为

A. 1 B. C. D. 3

9. 设函数f（x）和g（x）的定义域为D，若存在非零实数c∈D，使得f（c）+g（c）=0，则称函数f（x）和g（x）在D上具有性质P。

现有三组函数：

①f（x）=x，g（x）=x²
②f（x）=2^-x，g（x）=-e^x
③f（x）=-x²，g（x）=2^x

其中具有性质P的是

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

10. 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为BD₁，B₁C₁的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，则下列说法正确的是

A. 点P可以是棱BB₁的中点

B. 线段MP的最大值为

C. 点P的轨迹是正方形

D. 点P轨迹的长度为2+

第二部分
（非选择题
共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. （x-2）⁵的展开式中x的系数是________。

12. 数列{a_n}是公差为-2的等差数列，记{a_n}的前n项和为S_n，且a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₁=________；S_n=________。

13. 一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为________。

14. 已知抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点为F，过点M（-l，4）作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足|AF|=|AM|，则抛物线C的方程为________；设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为________。

15. 炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道。某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：

记V（t）为6月t日冰激凌的供应量，W（t）为6月t日冰激凌的销售量，其中t=l，2，…，30。

用销售指数P（t,n）=×100%，（n≥1，n∈N）来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况。当n=1时，P（t，1）表示6月t日的日销售指数。

给出下列四个结论：

①在6月1日至6日这6天中，P（4，1）最小，P（5，1）最大；

②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；

③P（1，3）=P（4，3）；

④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意t∈{l，2，3，4，5，6，7}，都有P（t，6）=P（1，12）。

其中所有正确结论的序号是_______。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. （本小题13分）

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，AA₁=4，AB⊥AC，BE⊥AB₁交AA₁于点E，D为CC₁的中点。

（I）求证：BE⊥平面AB₁C;

（II）求二面角C-AB₁-D的余弦值。

17. （本小题13分）

已知△ABC的面积为4，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（I）b和c的值；

（II）sin（A-B）的值。

条件①：a=6，cosC=-；条件②：A=C，cosB=-。

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

18. （本小题14分）

防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用。北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下：

（I）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；

（II）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（III）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大?（结论不要求证明）

19. （本小题15分）

已知函数f（x）=x³-x。

（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（II）求函数f（x）的单调区间和极值；

（III）设函数t（x）=-2，x∈（0，），试判断t（x）的零点个数，并证明你的结论。

20. （本小题15分）

已知椭圆C==1。

（I）求椭圆C的离心率和长轴长；

（II）已知直线y=kx+2与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点。是否存在实数k，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由。

21. （本小题15分）

对于数列{a_n}，定义=设{}的前n项和为。

（I）设，写出，，，；

（II）证明：“对任意n∈N*，有=a_n+1-a₁“的充要条件是“对任意n∈N*，有|a_n+1-a_n|=1″；

（III）已知首项为0，项数为m+1（m≥2）的数列{a_n}满足：

①对任意1≤n≤m且n∈N*，有a_n+l-a_n∈{-1，0，1}；②=a_m。

求所有满足条件的数列{a_n}的个数。

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1. D 2. A 3. C 4. C

5. A 6. B 7. B 8. D

9. B 10. D

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 80 12. 8，-n²+9n

13. 2 14. y²=4x，-1

15. ①④

注：第（12）和（14）题第一空3分，第二空2分。第（15）题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题（共6小题，共85分）

16. （共13分）

解：（I）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，所以AA₁⊥平面ABC，

所以AA₁⊥AC。 ……………1分

因为AC⊥AB，ABAA₁=A，所以AC⊥平面AA₁B₁B。……………3分

因为BE平面AA₁B₁B，所以AC⊥BE。……………4分

因为BE⊥AB₁，ACAB₁=A，

所以BE⊥平面AB₁C。 ……………5分

（II）由（I）知AB，AC，AA₁两两垂直，

如图建立空间直角坐标系A-xyz。

则A（0，0，0），B₁（2，0，4），D（0，2，2），B（2，0，0）。

……………7分

设E（0，0，a），所以=（0，2，2），=（2，0，4），=（-2，0，a），

因为⊥，所以4a-4=0，即a=1。 ……………8分

所以平面AB₁C的一个法向量为=（-2，0，1）。 ……………9分

设平面AB₁D的法向量为n=（x，y，z），

所以所以即 ………10分

令z=-1，则x=2，y=1，

所以平面AB₁D的一个法向量为n=（2，1，-1）。 ……………11分

所以cos<，n>===-。 ………12分

由已知，二面角C-AB₁-D为锐角，

所以二面角C-AB₁-D的余弦值为。 ……………13分

17. （共13分）

若选择条件①：

解：（I）在△ABC中，因为cosC=-，

所以C∈（，），sinC==。………2分

因为S=absinC=4，a=6，所以b=2。 ……………4分

由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=48， ……………5分

所以c=4。 ……………6分

（II）由正弦定理==，可得==。……7分

所以sinA=，sinB=。 ………9分

因为A，B（0，），所以cosA=，cosB=。 ………11分

所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

=×–×=。 …………13分

若选择条件②：

解：（I）在△ABC中，因为A=C，所以a=c。

因为cosB=-，所以B∈（，），sinB==。………2分

因为S=acsinB=c²×=4，

所以a=c=3。 ……………4分

由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=64，所以b=8。 ……………6分

（II）由正弦定理得=，

所以sinA=sinB=×=. ………8分

因为A（0，），所以cosA==。 ………10分

所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

=×（-）-×=-。 ………13分

18. （共14分）

解：（I）设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米“，

从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，…2分

由图表可知，事件A包含“2011年和2012年“，“2014年和2015年“，“2018年和2019年“。 ……………3分

所以P（A）==。 ……………4分

（II）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，

蓄水量不超过33亿立方米有4年。

随机变量X的所有可能取值为0，1，2。 ……………5分

P（X=0）===，P（X=1）==，

P（X=2）== ………8分

所以随机变量X的分布列为：

……………9分

所以E（X）=0×+1×+2×=。 ……………11分

（III）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大。 ……………14分

19. （共15分）

解：（I）由f（x）=x³-x，得f ‘（x）=3x²-1。 ……………1分

因为f（1）=0，f ‘（1）=2， ……………3分

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2。 …………4分

（II）令f ‘（x）=0，得3x²-1=0，解得x=-或x=。

当x变化时，f（x）和f ‘（x）变化情况如下表：

……7分

所以，f（x）的单调递减区间是（–，），单调递增区间是（-∞，–），（,+∞）；

f（x）在x=-处取得极大值，在x=处取得极小值–。

（III）x∈（0，），t（x）=0，即-2=0，

等价于x²-1-2sinx=0。 ……………10分

设g（x）=x²-1-2sinx，x∈（0，），则g’（x）=2x-2cosx。

①当x∈[,）时，g’（x）>0，g（x）在区间[,）上单调递增。

又g（）=-3<0，g（）=²-l>0，

所以g（x）在区间[,）上有一个零点。 ……………11分

②当x∈（0，）时，设h（x）=g’（x）=2x-2cosx。

h’（x）=2+2sinx>0，所以g’（x）在区间（0，）上单调递增。………12分

又g’（0）=-2<0，g’（）=>0，

所以存在x₀∈（0，），使得g’（x₀）=0。

所以，当x∈（0，x₀）时，g’ （x）<0，g（x）单调递减；

当x∈（x₀，）时，g’（x）>0，g（x）单调递增。· ……………13分

又g（0）=-1<0，g（）=-3<0，

所以g（x）在区间（0，）上无零点。 ……………14分

综上所述，函数t（x）在定义域内只有一个零点。 ……………15分

20. （共15分）

解：（I）由题意：a²=4，b²=2，所以a=2。 ……………1分

因为a²=b²+c²，所以c²=2，c=。 ……………2分

所以e==。 ……………3分

所以椭圆C离心率为，长轴长为4。 ……………4分

（II）联立消y整理得：（2k²+1）x²+8kx+4=0。 ……………5分

因为直线与椭圆交于A，B两点，故△>0，解得k²>。 ……………6分

设A（x_l,y_l），B（x₂,y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=。………8分

设AB中点G（x₀，y₀），

则x₀==，y₀=kx₀+2=，

故G（，）。 ………9分

假设存在k和点P（m，0），使得△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，

则PG⊥AB，故k_PG·k_AB=-1，

所以×k=-l，解得m=，故P（，0）。……10分

又因为∠APB=，所以=0。

所以（x₁-m，y₁）·（x₂-m，y₂）=0，即（x₁-m）（x₁-m）+y₁y₂=0。

整理得（k²+1）x₁x₂+（2k-m）（x₁+x₂）+m²+4=0。

所以（k²+1）·-（2k-m）·+m²+4=0， ………12分

代入m=，整理得k⁴=1，即k²=1。 ……………14分

当k=-1时，P点坐标为（，0）；当k=1时，P点坐标为（–，0）。

此时，△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形。 ……………15分

21. （共15分）

解：（I）因为a₁=，a₂=，a₃=，a₄=，a₅=，

根据题意可得=1，=-1，=-1，=-1。 ……………4分

（II）必要性：对n=1，有=a₂-a₁，因此|a₂-a₁|=||=||=1。 ……5分

对任意n∈N^*且n≥2，有=a_n+1-a₁，=a_n-a₁，

两式作差，得–= a_n+1-a_n，即= a_n+1-a_n，

因此|a_n+1-a_n|=||=1。 ……………7分

综上，对任意n∈N^*，有|a_n+1-a_n|=1。

充分性：若对任意n∈N^*，有|a_n+1-a_n|=1，则= a_n+1-a_n，

所以=++…+=（a₂-a₁）+（a₃– a₂）+…+（ a_n+1-a_n）=a_n+l-a₁。

综上，“对任意n∈N^*，=a_n+1-a₁，“的充要条件是“对任意n∈N^*，

|a_n+1-a_n|=1″ …………10分

（III）构造数列{b_n}：b₁=0，b_n+1-b_n=

则对任意1≤n≤m且n∈N^*，有=，|b_n+1-b_n|=1。

结合（II）可知，=++…+=++…+=b_m+1–b₁=b_m+l。

又=a_m，因此b_m+l =a_m。

设a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_m+1-a_m中有k项为0，

则a_m+l=a₁+（ a₂– a₁）+（ a₃– a₂）+…+（ a_m+1-a_m）

=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_m+1-b_m）-k

=b_m+1-k

=a_m-k。

即a_m+l-a_m=-k。

因为a_m+1-a_m∈{-1，0，1}，所以k=0或1。 ……………13分

若k=0，则a_m+l-a_m=0，

与a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_m+1-a_m中有0项为0，即k=0矛盾，不符题意。

若k=1，则a_m+1-a_m=-1。

所以，当a_m+1-a_m=-1，a₂– a₁，a₃– a₂，…，a_m-a_m-1中有一项为0，其余m-2项为±l时，数列{a_n}满足条件。

a₂– a₁，a₃-a₂，…，a_m– a_m-1中有一项为0，共m-1种取法；其余m-2项每项有1或-1两种取法，

所以，满足条件的数列{a_n}的个数为（m-1）·2^m-2。 ……………15分