北京101中学2020-2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（
）

A. A B. C C. 3² D. 2³

2. 已知盒子中装有3个红球，2个白球，5个黑球，它们的大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个球，且不放回，则在甲第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（
）

A. B. C. D.

3. 若直线2x-y-4=0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a-b的值为（
）

A. 6 B. 2 C. -2 D. -6

4. 若直线y=kx+1与圆x²+y²=1相交于P，Q两点，且∠POQ=90°（其中O为原点），则k的值为（
）

A. B. 1 C. ± D. ±1

5. 将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法种数为（
）

A. 150 B. 300 C. 60 D. 90

6. （x³–）⁴+（x+）⁸的展开式中的常数项为（
）

A. 32 B. 34 C. 36 D. 38

7. 过三点A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（
）

A. 2 B. 8 C. 4 D. 10

8. 双曲线C：–=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法错误的是（
）

A. 该双曲线离心率为

B. 双曲线–=1与双曲线C的渐近线相同

C. 若PO⊥PF，则△PFO的面积为

D. |PF|的最小值为2

9. 某市新高考方案规定的选课要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四科中任选两科，现有甲、乙两名学生按规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法种数为（
）

A. 24 B. 30 C. 48 D. 60

10. 已知椭圆C：+=1（a>b>0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+90°，则椭圆C的离心率是（
）

A. B. C. D.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 如果椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，那么双曲线–=1（a>0，b>0）的离心率为___________。

12. 已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂距离之和的最小值是___________。

13. 如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作。若每个部件的可靠性均为r（0<r<1），而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为___________。

14. 甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为，则E（）=___________。

15. 已知点A（2，4）在抛物线y²=2px（p>0）上，直线l交抛物线于B，C两点，且直线AB与AC都是圆N：x²+y²-4x+3=0的切线，则B，C两点纵坐标之和是________，直线l的方程为___________。

三、解答题共5小题，共45分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. （本小题10分）

从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，。

（1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2）若有2辆车独立从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率。

17. （本小题10分）

已知椭圆C：+=1（a>b>0），过点（0，-1），离心率e=。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0），设直线AM和BM的斜率分别为和，求+的值。

18. （本小题10分）

某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同。

（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；

（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为，求的分布列；

（3）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取到几次红球的概率最大?（只需写出结论）

19. （本小题10分）

设椭圆C：+=1（a>b>0），F₁，F₂为左、右焦点，B为何轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF₁F₂的面积为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点M，且与直线x=4相交于点N，试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过定点P?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

20. （本小题5分）

（1）设i为虚数单位，则（-i）⁷的实部为_________；

（2）计算：（1-3C+3²C-3³C+…-3¹⁰⁰⁹C+3¹⁰¹⁰C）=_________。

参考答案

1. C

2. B

3. A

4. D

5. A

6. D

7. （2015高考课标II理7）C

可得圆的方程为x²+y²-2x+4y-20=0，令x=0，得y²+4y-20=0，设两个根为y₁，y₂，则y₁+y₂=-4，y₁y₂=-20，所以|MN|==4。

8. D

9. D

10. A

11. 。

12. 2。

13. 2r²-r⁴。

14. 。

15. -8；15x+15y+22=0。

16. （2017高考天津理16）

（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；

则P（X=0）=（1-）×（1-）×（1-）=，

P（X=1）=×（1-）×（1-）+（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×=，

P（X=2）=（1-）××+×（1-）×+××（1-）=，

P（X=3）=××=。

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=。

（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，

则所求事件的概率为

P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）

=P（Y=0）·P（Z=1）+P（Y=1）·P（Z=0）=×+×=。

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为。

17. （1）依题意可得所以，，

所以椭圆的标准方程为+=1。

（2）因为F（1，0），直线l的斜率不为0，

所以设直线l的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂．y₂）。

由得。

所以△=4m²+4（m²+2）=8>0，y₁+y₂=，y₁y₂=。

所以

==。

18. （1）设”一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A。

则P（A）=。

（2）可能取0，1，2，3，4。

P（=0）=C（）⁰（1-）⁴=，P（=1）=C（）¹（1-）³=，

P（=2）=C（）²（1-）²=，P（=3）=C（）³（1-）¹=，

P（=4）=C（）⁴（1-）⁰=。

所以的分布列为

（3）15。

19. （1）由题意知解得

所以椭圆C的方程是+=1。

（2）由得。

因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M（x₀，y₀），

所以m≠0，且=0，

即64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，化简得4k²-m²+3=0。（*）

此时x₀=-，y₀=kx₀+m=，所以M（–，）。

由
得N（4，4k+m）。

假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性可知，点P必在x轴上。

设P（x₁，0），则=0对满足（*）式的m，k恒成立。

因为=（–，），=（4-x₁，4k+m），

由=0，得–，

整理，得（4x₁-4）+。（**）

由于（**）式对满足（*）式的m，k恒成立，

所以解得x₁=1。

所以存在定点P（1，0），使得以MN为直径的圆恒过点M。

20. （1）-64；（2）。