北京市朝阳区2021届上学期高三年级期末质量检测数学试卷

（考试时间120分钟
满分150分）

本试卷分为选择题
（共40分）和非选择题
（共110分）两部分

第一部分
（选择题
共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知全集U={-1，0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，则=

A. {3，4} B. {-1，3，4}

C. {0，1，2} D. {-1，4}

2. 已知向量a=（-1，2），b=（x，4），且a⊥b，则|b|=

A. 2 B. 4 C. 4 D. 8

3. 某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为

A. B. C. 3 D. 4

4. 已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₃=9，则log₃a₁+log₃a₂+ log₃a₃+ log₃a₄+ log₃a₅=

A. B. C. 10 D. 15

5. 设抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点。若|PF|=4，则|PM|=

A. B. 5 C. 2 D. 4

6. 已知函数f（x）=cos（2x-），给出下列四个结论：

①函数f（x）是周期为的偶函数；

②函数f（x）在区间[，]上单调递减；

③函数f（x）在区间[0，]上的最小值为-1；

④将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与g（x）=sin²x的图象重合。

其中，所有正确结论的序号是

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

7. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f（1）=0，当x∈（0，1）时，f（x）=2^x+x。设a=f（5），b=f（），c=f（–），则a，b，c的大小关系为

A. b>a>c B. a>c>b C. c>a>b D. b>c>a

8. 已知圆C：x²+y²=4，直线l：x+y+t=0，则“l与C相交“是“|t|<2”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 已知双曲线C：–=1（a>0，b>0）的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足。若|DF|=|DA|，则C的离心率为

A. 2 B. 2 C. D.

10. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=mx（m>0）与曲线y=x³从左至右依次交于A，B，C三点。若直线l：kx-y+3=0（k∈R）上存在点P满足|+|=2，则实数k的取值范围是

A. （-2，2） B. [-2，2]

C. （-∞，-2）（2，+∞） D. （-∞，-2][2，+∞）

第二部分
（非选择题
共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 设a∈R。若复数z=i（1+ai）为纯虚数，则a=_______，z²=_______。

12. 在（x²+）⁶的展开式中，常数项是________。（用数字作答）

13. 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五。一般地，像（3，4，5）这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组。若从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，12，15），（9，40，41），（10，24，26），（11，60，61），（12，16，20）这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为________。

14. 若函数f（x）=sin（x+φ）+cosx为偶函数，则常数φ的一个取值为________。

15. 设函数y=f（x）的定义域为D，若对任意x₁D，存在x₂∈D，使得f（x₁）·f（x₂）=1，则称函数f（x）具有性质M，给出下列四个结论：

①函数y=x³-x不具有性质M；

②函数具有性质M；

③若函数y=log₈（x+2），x∈[0，t]具有性质M，则t=510；

④若函数y=具有性质M，则a=5。

其中，正确结论的序号是________。

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. （本小题13分）

在△ABC中，cosA=，c=3，且b≠c，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：

（I）b的值；

（II）△ABC的面积。

条件①：sinB=2sinA：

条件②：sinA+sinB=2sinC。

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

17. （本小题13分）

某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分。该公司将收集到的数据按照[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：

A地区用户满意程度评分频率分布直方图 B地区用户满意程度评分频率分布直方图

（I）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；

（Ⅱ）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X。求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为₁，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为₂，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为₀，试比较₀和的大小。（结论不要求证明）

18. （本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，∠BAD=，E是线段AD的中点，连结BE。

（I）求证：BE⊥PA；

（II）求二面角A-PD-C的余弦值；

（Ⅲ）在线段PB上是否存在点F，使得EF∥平面PCD?

若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

19. （本小题15分）

已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点（1，），且C的离心率为。

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，求|PA|·|PB|的取值范围。

20. （本小题15分）

已知函数f（x）=lnx-（a+2）x+ax²（aR）。

（I）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若f（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围。

21. （本小题15分）

已知无穷数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=a+c（n∈N^*，c∈R）。对任意正整数n≥2，记M_n={c|对任意i∈{1，2，3，…，n}，|a_i|≤2}，M={c|对任意i∈N*，|a_i|≤2}。

（I）写出M₂，M₃；

（II）当c>时，求证：数列{a_n}是递增数列，且存在正整数k，使得cM_k；

（III）求集合M。

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1. B 2. C 3. A 4. C 5. C

6. D 7. A 8. B 9. B 10. D

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 0；-1 12. 15

13. 14. （答案不唯一）

15. ①③

三、解答题（共6小题，共85分）

16. （共13分）

解：选条件①：sinB=2sinA。

（I）在△ABC中，因为=，所以b==2a。

因为cosA=，且c=3，cosA=，b=2a，

所以=。

化简得2，

解得a=2或a=。

当a=时，，与题意矛盾。

所以a=2，所以b=4。 9分

（II）因为cosA=，A∈（0，），所以sinA=。

所以S_△ABC=bcsinA=×4×3×= 13分

选条件②：sinA+sinB=2sinC。

（I）在△ABC中，因为==，

所以由sinA+sinB=2sinC得a+b=2c=6。

因为cosA=，且c=3，cosA=，a=6-b，

所以=。

解得b=4。 9分

（II）由（I）知b=4，所以a=6-b=2。

因为cosA=，A∈（0，），所以sinA=。

所以S_△ABC=bcsinA=×4×3×=。 13分

17. （共13分）

解：（I）由题知A地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分，所以从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，

这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率是=0.6。 3分

（II）由题可知X的可能取值为0，1，2。

P（X=0）==；

P（X=1）==；

P（X=2）==。

所以X的分布列如下表：

所以X的数学期望EX=0×+1×+2×=。 10分

（III）>。 13分

18. （共14分）

解：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AB=AD。

又因为∠BAD=，E为AD的中点，所以BE⊥AD。

又因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD平面ABCD=AD，

所以BE⊥平面PAD。

因为PA平面PAD，

所以BE⊥PA。 4分

（II）连结PE。因为PA=PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD。

由（I）可知BE⊥平面PAD，

所以BE⊥AD，PE⊥BE。

设AD=2a，则PE=a。

如图，建立空间直角坐标系E-xyz。

所以A（a，0，0），B（0，a，0），C（-2a，a，0），D（–a，0，0），P（0，0，a）。

所以=（–a，a，0），=（a，0，a）。

因为BE⊥平面PAD，所以=（0，a，0）是平面PAD的一个法向量。

设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），

则即所以

令x=，则y=1，z=。于是n=（，1，）。

所以cos<n，>===。

由题知，二面角A-PD-C为钝角，所以其余弦值为。 9分

（III）当点F是线段PB的中点时，EF∥平面PCD。理由如下：

因为点E平面PCD，所以在线段PB上存在点F使得EF∥平面PCD等价于·n=0。

假设线段PB上存在点F使得EF∥平面PCD。

设=（∈[0，1]），则=。

所以=+=+=（0，0，a）+（0，a，–a）=（0，a，a–a）。

由．n=a-（a–a）=0，得=。

所以当点F是线段PB的中点时，EF∥平面PCD，且=。 14分

19. （共15分）

解：（I）由题意得解得

所以椭圆C的方程为。 5分

（II）当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1与椭圆C交于A（1，），B（1，–）两点，

所以|PA|=|PB|=，所以|PA|·|PB|=。

当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），

由得。

且△=64k⁴-4（1+4k²）（4k²-4）=16（3k²+1）>0。

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x₁+x₂=，x₁x₂=。

所以

|PA|·|PB|=

令t=1+4k²，则t≥1，

所以|PA|·|PB|===。

当t=1，即k=0时，|PA|·|PB|取最大值3。

综上所述，|PA|·|PB|的取值范围是[]。 15分

20. （共15分）

解：（I）当a=0时，=lnx-2x，=-2，

所以=-2，）=-1。

所以曲线在点（1，）处的切线方程为y+2=-（x-1），即x+y+1=0。 3分

（II）因为=lnx-（a+2）x+ax²，定义域为（0，+∞），

所以=–（a+2）+2ax==。

①当a≤0时，与在（0，+∞）上的变化情况如下：

所以在（0，）内单调递增，在（，+∞）内单调递减。

②当0<a<2时，与在（0，+∞）上的变化情况如下：

所以在（0，），（，+∞）内单调递增，在（，）内单调递减。

③当a=2时，≥0，所以在（0，+∞）上单调递增。

④当a>2时，与在（0，+∞）上的变化情况如下：

所以在（0，），（，+∞）内单调递增，在内单调递减。 9分

（III）由（II）可知：

①当a≤0时，在（0，）内单调递增，在（，+∞）内单调递减，

当x=时，取得最大值=-ln2-1-。

（i）当-4ln2-4≤a≤0时，≤0，

所以在（0，+∞）上至多有一个零点，不符合题意。

（ii）当a<-41n2-4时，>0。

因为>0，=-2<0，在（，+∞）内单调递减，

所以在（，+∞）内有唯一零点。

因为a<-41n2-4<-e，

所以-a>e且0<-<<。

因为=-ln（-a）+1+<1-1n（-a）<1-lne=0，>0，

且在（0，）内单调递增，所以在（0，）内有唯一零点。

所以当a<-4ln2-4时，恰有两个零点。

②当0<a<2时，在（0，），（，+∞）内单调递增，在（，）内单调递减，

因为当x=时，取得极大值=-ln2-1-<0，

所以在（0，+∞）上至多有一个零点，不符合题意。

③当a=2时，在（0，+∞）上单调递增，

所以在（0，+∞）上至多有一个零点，不符合题意。

④当a>2时，在（0，），（，+∞）内单调递增，在（，）内单调递减。

因为当x=时，取得极大值=-lna-1-<0，

所以在（0，+∞）上至多有一个零点，不符合题意。

综上所述，实数a的取值范围是（–∞，-4ln2-4）。 15分

21. （共15分）

解：（I）M₂＝[-2，2］，M₃＝［-2，1］。 4分

（Ⅱ）当c＞时，对任意n∈N^*，都有

，

所以a_n+1＞a_n。

所以数列{a_n}是递增数列。 7分

因为

，

所以。

令n₀＝min{tN|t＞}，则n₀（c-）>（c-）＝2，

所以c。

所以存在正整数k＝n₀+1，使得cM_k。 9分

（III）由题意得，对任意n∈N*，都有M_n+1M_n且MM_n。

由（Ⅱ）可得，当c＞时，存在正整数k，使得cM_k，所以cM。

所以若c∈M，则c≤。

又因为MM₃＝[-2，1]，所以若c∈M，则c≥-2。

所以若c∈M，则-2c，即M[-2，]。

下面证明［-2，］M。

①当0≤c≤时，对任意n∈N^*，都有a_n≥0。

下证对任意n∈N^*，a_n<。

假设存在正整数k，使得a_k≥。

令集合S＝{k∈N^*|a_k≥}，则非空集合S存在最小数s₀。

因为0≤a₂＝c≤＜，所以s₀＞2。

因为s₀-1S，所以0≤＜。

所以＝＋c＜＋c≤，与≥矛盾。

所以对任意n∈N^*，0≤a_n＜。

所以当0≤c≤时，|a_n|≤2。

②当-2≤c＜0时，c²+2c≤0。

下证对任意n∈N^*，|a_n|≤|c|。

假设存在正整数k，使得|a_k|>|c|。

令集合T＝{k∈N^*||a_k|>|c|}，则非空集合T存在最小数t₀。

因为a₂＝c，所以|a₂|≤|c|，所以t₀＞2。

因为t₀-1T，所以||≤|c|。

≤≤-c，且≥c，

所以||≤|c|，与||>|c|矛盾。

所以当-2≤c＜0时，|a_n|≤|c|≤2。

所以当c∈［-2，］时，对任意n∈N^*，都有|a_n|≤2。

所以c∈M，即［-2，］M。

因为M［-2，］，且［-2，］M，所以M＝［-2，］。 15分