北京101中学2023届上学期高三年级9月月考数学试卷

北京101中学2023届上学期高三年级9月月考数学试卷

一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合M＝｛x∈Z|1g（x-1）≤0｝，N＝｛x∈Z|x|＜2}，则MN＝（
）

A.             B. （1，2）        C. （-2，2］            D. {-1，0，1，2｝

2. 如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（
）

A. b＝3，ac＝9    B. b＝-3，ac＝9    C. b＝3，ac＝-9        D. b＝-3，ac＝-9

3. 设，都是单调函数，有如下四个命题：

①若单调递增，单调递增，则–单调递增；

②若单调递增，单调递减，则–单调递增；

③若单调递减，单调递增，则–单调递减；

④若单调递减，单调递减，则–单调递减。

其中，正确的命题是（
）

A. ①③            B. ①④            C. ②③                D. ②④

4. 若ab＞0，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（
）

A.         B. ＜        C.         D. ＞

5. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC是（
）

A. 钝角三角形                    B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形                D. 直角三角形，但不是等腰三角形

6. 已知函数＝cos²x-sin²x（＞0）的最小正周期为，则（
）

A. 在（0，）内单调递增            

B. 在（0，）内单调递减

C. 在（，）内单调递增        

D. 在（，）内单调递减

7. 若是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）＝1，f（2）＝2，则f（3）–f（4）＝（
）

A. -1            B. 1                C. -2                D. 2

8. 下图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3，3］的大致图像，则该函数是（
）

A.         B.         C.         D.

9. 已知函数＝x³+x²-2|x|-k。若存在实数x₀，使得f（–x₀）＝–f（x₀）成立，则实数k的取值范围是（
）

A. ［-1，+∞）        B. （-∞，-1］        C. ［0，+∞）        D. （-∞，0］

10. 信息熵是信息论中的一个重要概念。设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P（X＝i）＝p_i＞0（i＝1，2，…，n），，定义X的信息熵H（X）＝。给出下面四个结论：

①若n＝1，则H（x）＝0；

②若n＝2，则当时，H（x）取得最小值；

③若，则H（x）随着n的增大而增大；

④若n＝10，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，5，且P（Y＝j）＝p_j+p_11-j（j＝1，2，…，5），则H（X）＞H（Y）。

其中，正确结论的个数是（
）

A. 1                B. 2                    C. 3                D. 4

二、填空题共5小题。

11. 在△ABC中，a＝，b＝2，B＝2A，则cosA＝___________。

12. 若函数＝为奇函数，则参数a的值为___________。

13. 已知数列｛a_n｝满足a_n+1＝，n∈N^*，若a₃＝，则a₁＝____________。

14. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a₁，a₂，…，a₁₂，设1≤i＜j＜k≤12。若k–j＝3且j–i＝4，则称a_i，a_j，a_k为原位大三和弦；若k–j＝4且j–i＝3，则称a_i，a_j，a_k为原位小三和弦。用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________。

15. 已知函数＝sin2x–x³，若函数＝f（x-4）+x，则函数的图像的对称中心为__________；若数列｛a_n｝为等差数列，a₁+a₂+a₃+…+a₁₁＝44，则g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₁₁）＝__________。

三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. 已知函数＝A sin（x+）（A＞0，＞0，0＜＜）的部分图像如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知。

（1）求函数的解析式；

（2）设函数＝·cos（2x+），若在区间［0，m］上单调递减，求m的最大值。

条件①：c-a＝；

条件②：b＝；

条件③：c＝。

17. 记S_n为等差数列｛a_n｝的前n项和，已知S₉＝–a₅。

（1）若a₃＝4，求｛a_n｝的通项公式；

（2）若a₁＞0，求使得S_n≥a_n的n的取值范围。

18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分别为S₁，S₂，S₃，且S₁-S₂+S₃=，sin B=。

（1）求△ABC的面积；

（2）若sinA sinC=，求b。

19. 已知函数

（1）求的值；

（2）求不等式＞1的解集；

（3）当x₀＜0时，是否存在使得成立的x₀值？若存在，直接写出x₀的值；若不存在，说明理由。

20. 已知函数（aR）。

（1）当a＝0时，求曲线y＝在x＝0处的切线方程；

（2）求函数在［1，2］上的最小值。

21. 已知数列A：a₁，a₂，…，a_N（N≥4），其中a₁，a₂，…，a_N∈Z，且a₁＜a₂＜…＜a_N。

若数列…，_N满足₁＝a₁，_N＝a_N，当i＝2，3，…，N-1时，_i＝a_i-1+1或a_i+1-1，则称：₁，₂，…，_N为数列A的“紧数列“。

例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列“为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8。

（1）直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列“；

（2）已知数列A满足：a₁＝1，a_N＝2N，若数列A的所有“紧数列“均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为N+1；

（3）已知数列A满足：a₁＝0，a₂＝2，对于数列A的一个“紧数列“，定义集合S（）＝｛a_i–_i|i＝2，3，…，N-1｝，如果对任意x∈S（），都有–xS（），那么称为数列A的“强紧数列“。若数列A存在“强紧数列“，求a_N的最小值。（用关于N的代数式表示）

参考答案

1. D

2. （2006高考北京文6）B

3. （2001高考全国理10）C

4. （2022房山一模3）C

5. （2022朝阳高一下期末4）B

6. （2022昌平高三上期末7）B

7. （2010高考安徽理4）A

8. （2022高考全国乙文8）A

设＝，则f（1）＝0，故排除B；设h（x）＝，当x∈（0，）时，0＜cosx＜1，所以h（x）＝<≤1，故排除C；设＝，则g（3）＝＞0，故排除D。

9. （2019海淀高三上期中7）A

由f（–x₀）＝–f（x₀）得–x+x-2|x₀|-k＝–（x+x-2|x₀|-k），整理得k＝x-2|x₀|，所以k∈［-1，+∞）。

10. （2020高考山东（改编）12）C

11. （2021丰台一模13）。

12. （2022高考上海8）1。

13. （2022东城高二上期末13）。

14. （2020高考全国II文（改编）3）10。

15. （原创）（4，6），66。

16. （2022西城高三上期末17）

（1）选条件①②；

因为c-a＝，所以＝，即T＝，则＝＝2。

由题意可知A＝2，则＝2sin（2x+）。

因为b＝，f（b）＝2sim（+）＝0，

所以，kZ，即＝+k。

因为0＜＜，所以＝，k＝1。

所以＝2sin（2x+）。

选条件①③：

因为c-a＝，所以，即T＝，则＝。

由题意可知A＝2，则＝2sin（2x+）。

因为c＝，f（c）＝2sin（+）＝-2，

所以+＝+2k，kZ，即＝+2k。

因为0＜＜，所以＝，k＝0。

所以＝2sin（2x+）。

选条件②③：

因为b＝，c＝，所以c-b＝＝，即T＝，则＝＝2。

由题意可知A＝2，则＝2sin（2x+）。

因为c＝，＝2sin（+）＝-2，

所以+＝+2k，kZ，即＝+2k。

因为0＜＜，所以＝，k＝0。

所以＝2sin（2x+）。

（2）由题意得＝sin（4x+）。

方法一：函数y＝sinx的单调递减区间为［+2k，+2k］（kZ）。

由+2k≤4x+≤+2k，

得–≤x≤。

因为函数y＝在区间［0，m］上单调递减，且0∈［–，］，此时k＝0。

所以m≤，所以m的最大值是。

方法二：因为x∈［0，m］，所以4x+[，4m+]。

由题意知y＝sint在［，4m+］上单调递减，

所以4m+≤，

所以m≤，所以m的最大值是。

17. （2019高考全国I文18）

（1）设｛a_n｝的公差为d。

由S₉＝-a₅得a₁+4d＝0。

由a₃＝4得a₁+2d＝4。

于是a₁＝8，d＝-2。

因此｛a_n｝的通项公式为a_n＝10-2_n。

（2）由（1）得a₁＝-4d，故a_n＝（n-5）d，S_n＝。

由a₁＞0知d＜0，故S_n≥a_n等价于n²-11n+10≤0，解得1≤n≤10。

所以n的取值范围是｛n|1≤n≤10，n∈N｝。

18. （2022高考全国Ⅱ 18）

（1）因为边长为a的正三角形的面积为a²，

所以S₁-S₂+S₃＝＝，即ac cos B＝1，

由sinB＝得：cosB＝，所以ac＝=，

故S_△ABC＝ac sin B＝××＝。

（2）由正弦定理得，

故b＝sin B＝。

19. （2022东城高二下期末18）

（1）f（f（-1））＝f（2）＝2²＝4。

（2）由＞1，有或

解得x∈（-2，0）（0，+∞）。

（3）存在唯一的x₀＝-1，使得f（x₀）–f（–x₀）＝0成立。

20. （2022房山二模19）

（1）当a＝0时，＝（x-1），＝x。

所以＝0，＝-1。

所以曲线y＝在x＝1处的切线方程为y＝-1。

（2）＝x-ax=x（-a）。

①当a≤0时，-a＞0。

所以x∈［1，2］时，＞0。

所以在［1，2］上是增函数。所以_min＝f（1）＝–a。

②当a＞0时，令＝0，解得x₁＝lna，x₂＝0（舍）。

（A）当ln a≤1，即0＜a≤e时，x∈［1，2］时，＞0。

所以在［1，2］上是增函数。所以_min＝f（1）＝–a。

（B）当1＜ln a＜2，即e＜a＜c²时，

所以_min＝f（ln a）＝–。

（C）当ln a≥2，即a≥c²时，x∈［1，2］时，＜0。

所以在［1，2］上是减函数。所以_min＝f（2）＝e²-2a。

综上，当a≤e时，_min＝–a；

当e＜a＜e²时，_min＝–a ln²a+a（lna-1）；

当a≥e²时，_min＝e²-2a。

21. （2022西城高三上期末21）

（1）₁：1，2，4，7，8；₂：1，2，6，7，8；3：1，5，4，7，8；4：1，5，6，7，8。

（2）依题意，对任意i＝2，3，…，N-2，有_i＝a_i-1+1或a_i+1-1，_i+1＝a_i+1或a_i+2-1，

因为均为递增数列，所以有_i＜_i+1，即同时满足；

a_i-1+1＜a_i+1①，a_i+1-1＜a_i+2-1②，a_i-1+1＜a_i+2-1③，a_i+1-1＜a_i+1④。

因为A为递增数列，因此①和②恒成立。

又因为A为整数数列，对于③，a_i-1+1≤a_i＜a_i+1≤a_i+2-1也恒成立。

对于④，一方面，由a_i+1-1＜a_i+1，得a_i+1＜a_i+2，即a_i+1≤a_i+1。

另一方面，a_i+1≥a_i+1，

所以a_i+1＝a_i+1（i＝2，3，…，N-2），

即A从第2项到第N-1项是连续的正整数，

所以a₂≥a₁+1＝2，a_N-1＝a₂+N-3≤a_N-1＝2N-1，因此2≤a₂≤N+2，

故a₂共有N+1种不同取值，即所有符合条件的数列A共有N+1个。

（3）记b_n＝a_n-a_n-1，依题意，b_n∈N*（n＝2，3，…，N）。

对任意i＝2，3，…，N-1，有a_i–_i＝b_i-1或-b_i+1+1，

注意到0S（），即对任意i∈{2，3，…，N-1｝，有a_i–_i≠0，

若a_i–_i＝b_i-1≠0，则b_i≠1，即b_i≥2；

若a_i–_i＝-b_i+1+1≠0，则b_i+1≠1，即b_i+1≥2，

即对任意i＝2，3，…，N-1，或者b_i≥2，或者b_i+1≥2。

所以b_i+b_i+1≥3，所以b_i-1＝-b_i+1+1不能成立。

记T₁＝｛i|a_i–_i＝b_i-1，i＝2，3，…，N-1｝，

T₂＝｛i|a_i–_i＝-b_i+1+1，i＝2，3，…，N-1｝，

则T₁T₂＝，且T₁T₂＝｛2，3，…，N-1｝。

注意到：若存在j∈T₂且2≤j≤N-2，即a_j–_j＝-b_j+1+1，则j+1∈T₂。

否则，若j+1∈T₁，则a_j+1–_j+1＝b_j+1-1＝–（-b_j+1+1）＝–（a_j–_j），不合题意。

因此集合T₁，T₂有以下三种情形：

①T₁＝｛2，3，…，N-1｝，T₂＝。

对任意i∈｛2，3，…，N-1｝，有b_i≥2，

则a_N＝a₁+（b₂+b₃+…+b_N-1）+b_N≥0+（N-2）·2+1＝2N-3，

当且仅当：b₂＝b₃＝…＝b_N-1＝2，b_N＝1，

即A：0，2，4，…，2N-4，2N-3时，等号成立，

此时存在“强紧数列“：0，1，3，…，2N-3，

故此情形下，a_N的最小值为2N-3；

②T₁＝｛2，3，…，k｝，T₂＝{k+1，k+2，…，N-1}，其中k＝2，3，…，N-2。

对任意i∈T₁，有b_i≥2，对任意j∈T₂，有b_j+1≥2。

a_N＝a₁+（b₂+b₃+…+b_k）+b_k+1+（b_k+2+b_k+3…+b_N）

≥0+（k-1）·2+1+（N-k-1）·2＝2N-3。

故此情形下，a_N的最小值不小于2N-3；

③T₁＝，T₂＝｛2，3，…，N-1｝。

对任意i∈｛2，3，…，N-1｝，有b_i+1≥2，

a_N＝a₁+b₂+（b₃+b₄…+b_N）≥0+2+（N-2）·2＝2N-2＞2N-3。

故此情形下，a_N的最小值不小于2N-3。

综上，a_N的最小值为2N-3。