北京市海淀区2020届下学期高三年级阶段性测试（一模）数学试卷

本试卷共150分。考试时长120分钟。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合A={x|0<x<3}，AB={1}，则集合B可以是

A. {l，2} B. {1，3}

C. {0，1，2} D. {l，2，3}

3. 已知双曲线=1（b>0）的离心率为，则b的值为

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

4. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是

A. < B.

C. D.

5. 在的展开式中，常数项为

A. -120 B. 120

C. -160 D. 160

6. 如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动。当圆M滚动到圆M’时，圆M’与直线l相切于点B，点A运动到点A’，线段AB的长度为，则点M’到直线BA’的距离为

A. 1 B. C. D.

7. 已知函数=||与函数的图象关于y轴对称。若在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为

A. [-1，+） B. （-，-1]

C. [-2，+） D. （-，-2]

8. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为

A. B. 2

C. 2 D.

9. 若数列{a_n}满足a₁=2，则”，rN*，=“是”{a_n}为等比数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 形如（n是非负整数）的数称为费马数，记为。数学家费马根据F₀，F₁，F₂，F₃，F₄都是质数提出了猜想：费马数都是质数。多年之后，数学家欧拉计算出F₅不是质数，那么F₅的位数是

（参考数据：lg2≈0.3010）

A. 9 B. 10

C. 11 D. 12

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 已知点P（1，2）在抛物线C：上，则抛物线C的准线方程为_______。

12. 在等差数列{a_n}中，a₁=3，a₂+ a₅=16，则数列{a_n}的前4项的和为_______。

13. 已知非零向量a，b满足|a|=|a–b|，则（a–b）·b=_______。

14. 在△ABC中，AB=4，∠B=，点D在边BC上，∠ADC=，CD=2，则AD=_______；△ACD的面积为_______。

15. 如图，在等边三角形ABC中，AB=6。动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为，给出下列三个结论：

①函数的最大值为12；

②函数的图象的对称轴方程为x=9；

③关于x的方程=kx+3最多有5个实数根。

其中，所有正确结论的序号是_______。

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. （本小题共14分）

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥平面BB₁C₁C，AB=BB₁=2BC=2，BC₁=，点E为A₁C₁的中点。

（I）求证：C₁B⊥平面ABC；

（II）求二面角A-BC-E的大小。

17. （本小题共14分）

已知函数=2cos²+sin。

（I）求的值；

（II）从①=1，=2；②=1，=l这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在[-]上的最小值，并直接写出函数的一个周期。

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

18. （本小题共14分）

科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障。下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：

其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）。

（I）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10％的概率；

（II）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；

（III）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由。

19. （本小题共15分）

已知函数。

（I）当a=-1时，

①求曲线在点（0，）处的切线方程；

②求函数的最小值；

（II）求证：当（-2，0）时，曲线与有且只有一个交点。

20. （本小题共14分）

己知椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为，A₁（-a，0），A₂（a，0），B（0，b），△A₁BA₂的面积为2。

（I）求椭圆C的方程；

（II）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A₁B与直线A₂M交于点P，直线A₁M与直线A₂B交于点Q。求证：△BPQ为等腰三角形。

21. （本小题共14分）

已知数列{a_n}是由正整数组成的无穷数列。若存在常数k∈N*，使得对任意的nN*成立，则称数列{a_n}具有性质。

（I）分别判断下列数列{a_n}是否具有性质；（直接写出结论）

①=1；②。

（II）若数列{a_n}满足（n=l，2，3，…），求证：”数列{a_n}具有性质“是”数列{a_n}为常数列”的充分必要条件；

（III）已知数列{a_n}中a₁=1，且a_n+1>a_n（n=l，2，3，…）。若数列{a_n}具有性质，求数列{a_n}的通项公式。

参考答案

阅卷须知:

1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2. 其他正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

注：第14题第一空3分，第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. 解：（Ⅰ）因为平面，平面

所以。

在△中，，，，

所以。

所以。

因为， 平面，

所以平面。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，

如图，以为原点建立空间直角坐标系。

则，，。

，。

设平面的法向量为，

则

即

令则，，

所以。

又因为平面的法向量为，

所以。

由题知二面角为锐角，所以其大小为。

17. 解：（Ⅰ）。

（Ⅱ）选择条件①。

的一个周期为。

。

因为，所以。

所以 。

所以 。

当时，即时，

在取得最小值。

选择条件②。

的一个周期为。

。

因为，所以。

所以 当时，即时，

在取得最小值。

18. 解：（Ⅰ）设事件A为”从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以。

（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以的所有可能取值为，，。

且；；。

所以的分布列为：

故的期望．

（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一。 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分。

（19）解：（Ⅰ）①当时，，则
．

所以

又，

所以曲线在点处的切线方程为

②令，得。

此时，随的变化如下：

可知，函数的最小值为1。

（Ⅱ）由题意可知，。

令，则．

由（Ⅰ）中可知，故
．

因为，

则

．

所以函数在区间上单调递增。

因为，

又因为，

所以有唯一的一个零点。

即函数与有且只有一个交点。

20. 解：（Ⅰ）由题

解得

所以椭圆方程为。

（II）解法1

证明：设直线方程为，直线方程为

由解得点。

由得，

则。

所以，。

即。

。

于是直线的方程为，直线的方程为。

由解得点

于是，所以轴。

设中点为，则点的纵坐标为。

故中点在定直线上。

从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，

所以△为等腰三角形。

解法2

证明：设则。

直线方程为，直线方程为。

由

解得点。

直线方程为，直线方程为。

由

解得点。

。

于是，所以轴。

。

故中点在定直线上。

从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，

所以△为等腰三角形。

（21）解：（Ⅰ）①数列具有”性质“；

②数列不具有”性质“。

（Ⅱ）先证”充分性”：

当数列 具有”性质“时，有

又因为，

所以，

进而有

结合有，

即”数列为常数列”；

再证”必要性”：

若”数列为常数列”，

则有，

即”数列 具有”性质“。

（Ⅲ）首先证明：。

因为具有”性质“，

所以。

当时有。

又因为且，

所以有，

进而有，

所以，

结合可得：。

然后利用反证法证明：。

假设数列中存在相邻的两项之差大于2，

即存在满足：

或，

进而有

。

又因为，

所以

依次类推可得：，矛盾，

所以有。

综上有：，

结合可得，

经验证，该通项公式满足，

所以：。