本试卷共150分。考试时长120分钟。
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合
，那么
＝
A. （－1，2） B. （－1，1） C. （
） D. 
2. 在复平面内，复数
对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 某中学高一、高二和高三各年级人数见下表，采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为
年级 | 人数 |
高一 | 550 |
高二 | 500 |
高三 | 450 |
合计 | 1500 |
A. 18 B. 22 C. 40 D. 60
4. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为
A. 
B. 9 C. 
D. 27
5. 已知圆
截直线
所得弦的长度为1，那么k的值为
A. 
B. 
C. 1 D. 
6. 已知函数
那么不等式
的解集为
A. 
B. 
C. 
D. 
7. “
“是”
“成立的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 宽与长的比为
的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目，在黄金矩形ABCD中，
，那么
的值为
A. 
B. 
C. 4 D. 
9. 已知椭圆
的右焦点F与抛物线
的焦点重合，P为椭圆C1与抛物线C2的公共点，且
轴，那么椭圆C1的离心率为
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线y＝f（x）连接在一起，需满足要求：曲线y＝f（x）经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么下列说法正确的是
A. 存在曲线
满足要求
B. 存在曲线
满足要求
C. 若曲线
和
满足要求，则对任意满足要求的曲线
，存在实数
，使得
D. 若曲线
和
满足要求，则对任意实数
，当
时，曲线
满足要求
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
11. 在
的展开式中，
的系数为______________。（用数字作答）
12. 已知双曲线
经过点
，那么m的值为___________，C的渐近线方程为____________。
13. 已知
为等比数列，
，那么
的公比为___________，数列
的前5项和为_____________。
14. 已知函数
，其中x和
部分对应值如下表所示：
x |
| 0 |
|
|
|
| －2 |
| －2 | 2 |
|
那么A＝__________________。
15. 设A是非空数集，若对任意
，都有
，则称A具有性质P，给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若
具有性质P，且
，则
具有性质P；
③若
具有性质P，则
具有性质P；
④若A具有性质P，且
，则
不具有性质P。
其中所有真命题的序号是________________。
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
如图，在长方体
中，四边形
是边长为1的正方形，AB＝2，M，N分别为
的中点。
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求直线CN与平面
所成角的正弦值。
17. （本小题13分）
在△ABC中，
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）角A的大小和△ABC的面积。
条件①：
；
条件②：
。
注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分。
18.（本小题14分）
小明同学两次测试成绩（满分100分）如下表所示：
语文 | 数学 | 英语 | 物理 | 化学 | 生物 | |
第一次 | 87 | 92 | 91 | 92 | 85 | 93 |
第二次 | 82 | 94 | 95 | 88 | 94 | 87 |
（Ⅰ）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；
（Ⅱ）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）现有另一名同学两次测试成绩（满分100分）及相关统计信息如下表所示：
语文 | 数学 | 英语 | 物理 | 化学 | 生物 | 6科成绩均值 | 6科成绩方差 | |
第一次 |
|
|
|
|
|
|
| D1 |
第二次 |
|
|
|
|
|
|
| D2 |
将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为D3。
有一种观点认为：若
，则
，你认为这种观点是否正确？
（只写”正确”或”不正确”）
19. （本小题15分）
已知函数
，其中
。
（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；
（Ⅱ）若曲线
在点
处的切线与y轴的交点为
，求
的最小值。
20.（本小题15分）
已知椭圆
过点
，且焦距为
。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（－4，0）的直线
（不与x轴重合）与椭圆C交于P，Q两点，点T与点Q关于x轴对称，直线TP与x轴交于点H，是否存在常数
，使得
）成立，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由。
21.（本小题15分）
设
为正整数，若
满足：
①
；
②对于
，均有
。
则称
具有性质
。
对于
和
，定义集合
。
（I）设
，若
具有性质E（3）,写出一个
及相应的T（
）；
（II）设
和
具有性质E（6）,那么T（
）是否可能为{0,1,2,3,4,5},若可能，写出一组
和
，若不可能，说明理由；
（III）设
和
具有性质E（n），对于给定的
，求证：满足
的
有偶数个。
【试题答案】
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. C 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C 7. B 8. C 9. A 10. D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 5 12. 4 
13. 
31 14. 4 15. ①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
16. （本小题13分）
解：（Ⅰ）取AC中点O，连接OM，ON，
因为M是AD中点，
所以OM∥CD，
，
在长方体
中，
因为N是
的中点，
所以NA1∥CD，
，
所以NA1∥OM，且
，
所以四边形NOMA1是平行四边形，
所以MA1∥ON。
又因为
平面ANC，
平面ANC，
所以MA1∥平面ANC。 5分
（Ⅱ）在长方体
中，
如图建立空间坐标系
，则
，
，
所以
。
设平面
的法向量
，
由
知
令
，则
，则平面
的法向量
。
设直线CN与平面
所成角为
，
则
，
所以直线CN与平面D1AC所成角的正弦值为
。 13分
17.（本小题13分）
解：选择条件①。
（Ⅰ）因为
，
由余弦定理
，得
，
解得
或
（舍），
所以
。 6分
（Ⅱ）因为
，
所以
，
由正弦定理
，得
，
所以
。
因为
，所以
，
所以
，
所以
。 13分
选择条件②。
（Ⅰ）因为
，
所以
。
因为
，
所以
。
由正弦定理
，得
，
解得
。 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
又因为
，
在△ABC中，
，
所以
。
所以
，
所以
。 13分
18. （本小题14分）
解：（Ⅰ）设事件A为“从小明同学第一次测试各科中随机选取1科，该科成绩大于90分“。
根据表中数据，在小明同学第一次测试的6科中，有4科的成绩大于90分，分别是数学，英语，物理，生物。
所以
。 4分
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2。
因为小明同学第一次测试的6科中，有4科的成绩大于90分，第二次测试的6科中，有3科的成绩大于90分，
所以
，
，
。
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
故X的数学期望
。 10分
（Ⅲ）不正确。 14分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）当
时，
，
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
的单调递增区间为
和
，
单调递减区间为
。 5分
（Ⅱ）
，
，
，
曲线
在点
处的切线方程为
，
即
。
令
，得
，
此时
，令
，得
，
当
时，
；当
时，
，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故
的最小值为
。 15分
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得
解得
故椭圆C的方程为
。 4分
（Ⅱ）设
，因为点T与点Q关于x轴对称，所以
，
所以直线
的斜率为
，直线PT的方程：
。
令
，解得
，
所以
。
因为
，
“存在常数
，使得
成立”
等价于”存在常数
，使得
成立”，
即
成立，
化简得：
。
设直线
。
即”存在常数
，使得
成立”。
由
得
。
，解得
。
，
，
。
欲使
成立，只需
。
故存在
，使得
成立，
。 15分
21.（本小题15分）
解：（Ⅰ）
＝
；
＝
。 4分
（Ⅱ）假设存在
和
均具有性质
，且
，
则
。
因为
与
同奇同偶，
所以
与
同奇同偶。
又因为
＝15为奇数，
为偶数，
这与
与
同奇同偶矛盾，
所以假设不成立。
综上，不存在均具有性质
的
和
，满足
。 10分
（Ⅲ）不妨设
和
构成一个数表A：
|
| … |
|
|
| … |
|
交换数表中两行，可得数表B：
|
| … |
|
|
| … |
|
调整数表各列的顺序，使第一行
变为
，
设第二行变为
，
令
，则
具有性质
，且
。
假设
与
相同，
则
，
不妨设
，则有
，故
。
因为
，所以
，
因为
，所以
，
与
矛盾。
故对于具有性质
的
，若
具有性质
，
且
＝
，
则存在一个具有性质
的
，
使得
，且
与
不同，
并且由
的构造过程可以知道，当
，
确定时，
唯一确定。由
也仅能构造出
。
综上，命题得证。 15分