北京市朝阳区2021届上学期初中九年级期末检测数学试卷（选用）

（考试时间120分钟
满分100分）

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

2．用配方法解方程3x²-6x+2=0，将方程变为（x-m）²= 的形式，则m的值为

(A)9 (B) -9 (C)1 (D)-1

3．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为

(A) ( B) y=6x

(C)y=6x² (D)

4．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

5．下列方程中，无实数根的方程是

( A)x²+3x=0 (B)x²+2x-1=0

(C)x²+2x+1=0 (D)x²-x+3=0

6．如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是

(A)指针指向黄色的概率为

(B)指针不指向红色的概率为

(C)指针指向红色或绿色的概率为

(D)指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率

7．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90°，点P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为

(A) (B)

(C) (D)1

8．如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx交于M，N两点，则二次函数y=ax²+（b-k）x+c的图象可能是

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为________cm．

10．如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB=α，则∠BPC的度数为________（用含α的式子表示）．

11．一元二次方程x²-3x+1=0的根为________．

12．下列事件，①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票：③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是随机事件的是________（只填写序号即可）．

13．在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y₁=a₁x²，y₂=a₂x²，y₃=a₃x²的图象如图所示，则a₁，a₂，a₃的大小关系为________．

14．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率，设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为____________．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B（-5，0），C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则的长度为____，线段AE的长为____，图中阴影部分面积为________．

16．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．

下面有四个推断：

①当摸球次数是300时，记录“摸到红球“的次数是99，所以“摸到红球“的概率是0．33；

②随着试验次数的增加，“摸到红球“的频率总在0．35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球“的概率是0.35；

③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；

④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球“的频率一定是0．40．

所有合理推断的序号是________．

三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分）

17．关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²+m-2=0有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．

18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D(A，B，C，D是网格线交点）．

(1)画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．

(2)在(1)的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．

19．已知：如图，△ABC中，∠C= 90°．

求作：∠CPB=∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上。

作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；

②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P(点P与点C在AB的两侧)；

③连接BP，CP．

∠CPB就是所求作的角．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)完成下面的证明。

证明：连接OC，

∵l为AB的垂直平分线，

∴OA=_________．

∵∠ACB=90°．

∴OA=OB=OC．

∴点A，B，C都在⊙O上，

又∵点P在⊙O上，

∴∠CPB=∠A(______________)（填推理依据）．

20．12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答“活动中的成绩的频数分布表：

(1)频数分布表中，m=____，

(2)从70≤x<75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？

21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)连接CD，若∠CDA=30°，AC=2，求CE的长．

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx-3与直线y=-x-1交于点A（-1，0），B(m，-3)，点P是线段AB上的动点．

(1)①m=____________；

②求抛物线的解析式．

(2)过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y=ax²+bx-3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．

四、解答题（本题共21分，每小题7分）

23．在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠A=90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．

(1)如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．

①求证：∠BDP=∠PCB；

②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．

(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．

24．已知抛物线y=ax²+2ax+3a²-4．

(1)该抛物线的对称轴为____________，

(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；

(3)设点M(m，y₁₎，N(2，y₂)在该抛物线上，若y₁>y₂，求m的取值范围．

25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB=1,给出如下定义：

平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B的对应点分别为点A’，B’，线段AA’长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离“，记为d(AB，⊙O)．

(1)若点A（-4，0）．

①当点B为（-3，0），如图所示，平移线段AB，在点P₁（-2，0），P₂(-1，0)，P₃ (1，0)，P₄(2，0)中，连接点A与点________的线段的长度就是d(AB，⊙O)；

②当点B为（-4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离“所对应的点A’的坐标．

(2)若点A（-4，4），d(AB，⊙O)的取值范围是________________．

参考答案

一、选择题（本题共24分．每小题3分）

二、填空题（本题共24分．每小题3分）

三、解答题(本题共31分，第17-21题，每小题5分，第21题6分，第22题5分)

17. 解：(1)由题意，△=(2m-1)²-4（m²+m-2)>0 …………………………1分

解得…………………………………………………2分

(2)m=1 ……………………………………3分

此时方程为x²+x=0

∴方程的根为x₁=0，x₂=-1……………………………5分

18. 解：答案不唯一，如：

(1)

…………3分

(2) C（0,0），F（4,2）……………………5分

19.解：(1)

…………………3分

(2)OB ……………………………………………………4分

同弧所对的圆周角相等 ……………………………………5分

20.解：(1)3……………………………………………………1分

(2)一班有2人，分别记为A，B；四班有3人，分别记为C，D，E

随机抽取2人的情况有AB，AC，AD，AE,BC，BD，BE，CD，CE，DE ………4分

至少有1人是一班学生的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE.

所以至少有1人是一班学生的概率是. …………………………………………5分

21.(1)证明：如图1．连接OD，

∵D是的中点．

∴∠BAD=∠CAD. ………………………………………1分

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ODA.

∴∠CAD=∠ODA.

∴OD∥AE.…………………………………2舟

∵DE⊥AC，

∴ DE⊥OD

∴ DE是⊙O的切线…………………………………………3分

(2)解：如图2，连接OC，

∵∠CDA=30°，

∴∠AOC=3∠CDA=60°.……………………………………4分

∴△AOC是等边三角形

∴由(1)可得，四边形ACDO是菱形.

∴CD=AC=2,∠CDE=30°.……………………………… 5分

∴CE=1.…………………………………………6分

22.解：（1）①2.……………………………………1分

②由①得，点B(2，-3)

∵点A（-1，0），B（2，-3）在抛物线y=ax²+bx-3上，

∴……………………………………2分

解得

∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3 ……………………………………3分

(2)设点P的横坐标为x，其中-1≤x≤2.

∴点P(x，-x-1)，点Q(x，x²-2x-3)

∴PQ=-x²+x+2.……………………………………4分

∴当时，PQ最大

此时点P的坐标是（，）…………………………………5分

四、解答题(本题共21分，每小题7分)

23.解：(1)补全图形，如图

…………………………2分

①证明：如图①，设PD与BC的交点为E.

根据题意可知，∠CPD= 90°

∵BC⊥l，

∴∠DBC=90°.

∴∠BDP+∠BED=∠PCB+∠PEC=90°

∴∠BDP=∠PCB. ……………………………………3分

②BC-BD=BP………………………………4分

证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F.

∵AB=AC，∠A=90°

∴∠ABC=45°.

∴BP=PF. ∠PFB=45°.

∴∠PBD=∠PFC=135°.………………5分

∴△BPD≌△FPC.………………………………6分

∴BD= FC.

∵BF=BP，

∴BC-BD=BP.

（2）BD-BC=BP.……………………………………7分

24.解：(1)直线x=-1………………………………1分

(2)∵抛物线顶点在x轴上

∴顶点坐标为（-1，0）.

解得a=-1或
……………………………………3分

∴抛物线解析式为y=-x²-2x-1或 ………………………………4分

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，

∴N(2，y₂)关于直线x=-1的对称点为N'( -4，y₂)……………………………5分

(i)当a>0时，若y₁>y₂，则m<-4或m>2；…………………………………………6分

(ii)当a<0时，若y₁>y₂，则-4<m<2 ………………………………………7分

25.解：(1)①P₃.………………………………………2分

②如图，A’B’⊥x轴于点M.

∴M为A’B’中点.

∴A’M=

∴
.

∴…………………………4分

(2) …………………7分