北京师大附中2020-2021学年下学期高二年级期中考试数学试卷

本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合，集合，则集合AB等于( ).

(A){x|2<x<3} (B){x|x >1}

(C){x|1<x<2} (D){x|x>2}

2. 已知命题，则是( )

(A) (B)

(C) (D)

3. 已知是公差为d的等差数列，S_n为其前n项和. 若S₃=3a₁+3，则d=( )

(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2

4. 若函数，则( )

(A) (B) (C)1 (D)0

5. 若抛物线y²=4x上的点A到焦点的距离为10，则点A到y轴的距离是( )

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

6. 等差数列的首项为1，公差不为0，若a₁，a₂，a₄成等比数列，则前5项的和为( )

(A)10 (B) 15 (C)21 (D) 28

7. 已知是等比数列，S_n为其前n项和，那么“a₁>0″是“数列{S_n}为递增数列“的 ( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

8. 已知函数，若，x₀为f(x)的一个极大值点，则实数a的取值范围是( )

(A)（-∞，0） (B)(4，+∞)

(C)（-∞，0）(4，+∞) (D)前三个答案都不对

9. 已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，空间中与三条棱AB，CC₁，A₁D₁所在的直线距离相等的点( )

(A)有且只有1个 (B)有且只有2个

(C)有且只有3个 (D)有无数个

10. 定义在区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，如果∈[a，b]，使得，则称为区间[a，b]上的“中值点“. 下列函数：

①f(x)=3x+2；
②f（x）=x²-x+1；
③f(x)=ln（x+1)；
④中，在区间[0，1]上“中值点“多于一个的函数序号为( )

(A) ①② (B)①③ (C)②③ (D)①④

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 若复数z满足，其中i为虚数为单位，则|z|=_____________.

12. 若3名演讲比赛获奖学生和2名指导教师站在一排照相，则2名指导教师不相邻的站法有_______种. （用数字作答）

13. 已知x>0，y>0，xy=1，则x+4y的最小值为_________，此时x的值为_________.

14. 设函数，其中a>0.若对于任意x∈R，f'(x)≥0，则实数a的取值范围是_________.

15. 设函数y=f(x)的定义域为D，若对任意x₁∈D，存在x₂∈D，使得f(x₁)·f(x₂) =1，则称函数f(x)具有性质M，给出下列四个结论：

①函数y=x³-x不具有性质M;

②函数具有性质M；

③若函数y=log₈(x+2)，x∈[0,t]具有性质M，则t=510;

④若函数具有性质M，则a=5.

其中，正确结论的序号是_____________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=5，S₃=a₇.

(I)求数列{a_n}的通项公式；

(II)若，求数列{a_n+b_n}的前n项和.

17. 已知函数f(x)=x³-3x+1.

(I)求函数f(x)的极值；

(II)求函数f(x)在[0，2]上的最大值；

18. 已知函数f(x)=x+alnx（a∈R）.

(I)当a=-1时，求函数f(x)的极值；

(Ⅱ)若不等式对任意x>0恒成立，求a的取值范围.

19. 已知椭圆过点，且C的离心率为.

(I)求椭圆C的方程;

(II)过点P(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，求|PA|·|PB|的取值范围.

20. 已知函数.

(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；

(Ⅱ)设实数k使得不等式f(x)<kx恒成立，求k的范围；

(Ⅲ)设函数h(x)=f(x)-kx(k∈R)，求函数h(x)在区间上的零点个数.

21. 数列A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥4）

满足：a₁=1，a_n=m，a_k+1 -a_k=0或1(k=1，2，…，n-1).

对任意i，j，都存在s，t，使得a_i+a_j=a_s+a_t，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n）且两两不相等.

(I)若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：

①1,1,1,2,2,2; ②1,1,1,1,2,2,2,2; ③1,1,1,1,1,2,2,2,2

( II)记S=a₁+a₂+…+a_n. 若m=3，求S的最小值；

(Ⅲ)若m=2018，求n的最小值.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. ; 12. 72; 13. 4;2; 14. (0,1]； 15. ①③；

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. 解：(I)设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d.

解得a₁=3, d=2

由a_n=a₁+(n-1)d，则a_n=2n+1

因此，通项公式为a_n=2n+1.

(II)由(I)可知：a_n=2n+1，则b_n=2²ⁿ⁺¹

因为b₁=2³=8，

所以{b_n}是首项为8，公比为q=4的等比数列.

记{a_n+b_n}的前n项和为T_n，则

T_n= (a₁+b₁)+(a₂+b₂)+…+(a_n+b_n)

= (a₁+a₂+…+a_n)+（b₁+b₂+…+b_n）

17. 解：(I)极大值f(-1) =3，极小值f(1)=-1；(II)最大值f(2)=3

18. 解：函数f(x)=x+alnx的定义域为(0，+∞)，.

(I)当a=-1时，

令f'(x)=0，得x=1.

当x变化时，f'(x)，f (x)的变化情况如下：

所以f(x)的极小值为f(1)=1，无极大值.

(II)不等式恒成立等价于恒成立.

令.

所以

(1)当a≥0时，因为x∈(0，+∞)，所以x+a>0.

令g'(x)=0，得x=1.

当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下：

当a≥0时，不等式g(x)≥0恒成立当且仅当.

所以符合题意.

(2)当a=-1时，.

所以g(x)在(0，+∞)内单调递增.

因为，所以g(x)≥0不恒成立.

所以a=-1不符合题意.

(3)当-1<a<0时，0<-a<1.

当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下：

因为，所以g(x)≥0不恒成立.

所以-1<a<0不符合题意.

(4)当a<-1时，-a>1.

当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下：

因为，所以g(x)≥0不恒成立.

所以a<-1不符合题意.

综上所述，a的取值范围是.

((2)(3)(4)可由判断出不符合题意）

19. 解：(I)由题意得，解得

所以椭圆C的方程为.

(II)当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1与椭圆C交于A，B 两点，

所以，所以.

当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k(x-1)，

由

得.

且.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

.

所以.

令t=1+4k²，则t≥1，

所以.

当t=1，即k=0时，取最大值3.

综上所述，的取值范围是.

20. 解：(I) y=x-1;

(II)因为x>0，所以恒成立等价于恒成立，

令，再求函数的最大值，得k的范围是k>；

(Ⅲ)由h(x)=f(x)-kx=0，得，即lnx-kx²=0, ，

研究函数，的最大值，，

所以，当k>或者时，有0个零点；

当或者时，有1个零点；

当时，有2个零点；

21. 解：(I)②③.

(II)当m=3时，设数列A_n中1，2，3出现频数依次为q₁，q₂，q₃，由题意q_i≥1(i=1，2，3).

①假设q₁<4，则有a₁+a₂<a_s+a_t（对任意s>t>2），

与已知矛盾，所以q₁≥4. 同理可证：q₃≥4.

②假设q₂=1，则存在唯一的k∈{1，2，…，n}，使得a_k=2.

那么，对，有a₁+a_k=1+2≠a_s+a_t (k，s，t两两不相等)，与已知矛盾，所以q₂≥2.

综上：q₁≥4，q₃≥4，q₂≥2，所以.

(Ⅲ)设1，2，…，2018出现频数依次为q₁，q₂，…，q₂₀₁₈.

同(II)的证明，可得q₁≥4，q₂₀₁₈≥4，q₂≥2，q₂₀₁₇≥2，则n≥2026.

取q₁=q₂₀₁₈=4，q₂=q₂₀₁₇=2,q_i=1，i=3，4，5，…，2016，得到的数列为：

B_n:1,1,1,1,2,2,3,4,……, 2015,2016,2017, 2017, 2018,2018, 2018, 2018.

下面证明B_n满足题目要求. 对i，j∈{1，2，…，2026），不妨令a_i≤a_j，

①如果a_i=a_j=1或a_i=a_j=2018，由于q₁=4，q₂₀₁₈=4，所以符合条件；

②如果a_i=1，a_j=2或a_i=2017，a_j=2018，由于q₁ =4，q₂₀₁₈=4，q₂=2，q₂₀₁₇=2，所以也成立；

③如果a_i=1,a_j>2，则可选取a_s=2，a_t=a_j-1；同样的，如果a_i<2017，a_j=2018，

则可选取a_s=a_i+1，a_t=2017，使得a_i+a_j=a_s+a_t，且i，j，s，t两两不相等；

④如果1<a_i≤a_j<2018，则可选取a_s=a_i-1，a_t=a_j+1，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立.

综上，对任意i，j，总存在s，t，使得a_i+a_j=a_s+a_t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等. 因此B_n满足题目要求，所以n的最小值为2026.