北京市丰台区2021届下学期高三年级综合练习（二）数学试卷（二模）

本试卷满分共150分
考试时间120分钟

第一部分（选择题
共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)在复平面内，复数对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

(2)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是

(A) (B) (C) (D)

(3)已知向量a=(-1，2)，b=(2，m)，若a∥b，则m=

(A) -4 (B) (C) (D)4

(4)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为P（，y₀），则=

(A) (B) (C) (D)

(5)已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是

(A)若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

(B)若a⊥α，b⊥α，则a∥b

(C)若a∥α，b∥α，则a∥b

(D)若a∥α，a∥β，则α∥β

(6)”a=1″是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直“的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(7)已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=

(A)3 (B) (C) (D)

(8)将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g（x）=

(A) log₂ (2x+1)-1 (B) log₂ (2x+1)+1

(C)log₂x-1 (D) log₂x

(9)某中学举行“十八而志，青春万岁“成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是

(A)15 (B)45 (C)60 (D)75

(10)如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆“，其中a²=b²+c²，a>0，b>c>0.A₁，A₂和B₁，B₂分别是“果圆“与x轴，y轴的交点．给出下列三个结论：

①；

②若|A₁A₂|=|B₁B₂|,则 a: b: c =5:4: 3;

③若在“果圆“y轴右侧部分上存在点P，使得∠A₁PA₂=90°，则．

其中，所有正确结论的序号是

(A)①② (B)①③ (C)②③ D)①②③

第二部分（非选择题
共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

(11)函数f(x)=sinx+cosx的值域为______________．

(12)能够说明“若a,b,m均为正数，则“是假命题的一组整数a,b的值依次为________________．

(13)已知点P(x₀，y₀)为抛物线C:x²=4y上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则|x₀|=_____________．

(14)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图“——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示，类比“赵爽弦图“，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC中，若AF=1，FD =2.则AB=______________．

(15)函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足，且当x∈[0，π）时，，给出下列四个结论：

①f(π) =0；

②π是函数f(x)的周期；

③函数f(x)在区间(-1，1)上单调递增；

④函数g(x) =f(x) -sin1（x∈[-10，10]）所有零点之和为3π．

其中，正确结论的序号是____________.

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

(16)（本小题13分）

已知数列中，a₁=1，且满足____________.

(I)求数列的通项公式；

(Ⅱ)求数列的前n项和S_n.

从①a_n+1=2a_n(n∈N^*)；②a_n+1-a_n=2(n∈N^*)；③a_n+1+a_n=2(n∈N^*)这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(17)（本小题14分）

某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30，40），[40，50），…，[90，100]，整理得到如下频率分布直方图．

根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：

(I)从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意“的概率；

(Ⅱ)用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中满意度的等级为“满意“的人数，求X的分布列和数学期望．

(18)（本小题14分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥CD，CD∥EF，AB=EF=1，DA=DC=DE=2，∠ADE=∠ADC=∠EDC=，点M为棱CF上一点，平面AEM与棱BC交于点N．

(I)求证：ED⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求证：AE∥MN;

(Ⅲ)若平面AEM与平面CDEF所成锐二面角的余弦值为，求的值．

(19)（本小题15分）

已知函数．

(I)若a=0，求f(x)的最小值；

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间．

(20)（本小题15分）

已知椭圆C：，过点(-1，0)的直线l交椭圆C于点A，B．

(I)当直线l与x轴垂直时，求|AB|；

(Ⅱ)在x轴上是否存在定点P，使为定值？若存在，求点P的坐标及的值；若不存在，说明理由．

(21)（本小题14分）

设数集S满足：①任意x∈S，有x≥0;②任意x，y∈S，有x+y∈S或|x-y|∈S，则称数集S具有性质P．

(I)判断数集A={0，1，2，4}是否具有性质P，并说明理由；

(Ⅱ)若数集B={a₁，a₂，…，a_n}且a_i<a_i+1（i=1，2，…，n-1）具有性质P．

(i)当n=2021时，求证：a₁，a₂，…，a_n是等差数列；

(ii)当a₁，a₂，…，a_n不是等差数列时，写出n的最大值．（结论不需要证明）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11． 12.1，2（答案不唯一） 13.

14． 15.①③④

三、解答题（共6小题，共85分）

16．（本小题13分）

解：选①

(I)因为a_n+1= 2a_n（n∈N^*），

所以数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列， ……2分

所以a_n=1×2^n-1= 2^n-1……… 4分

数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1(n∈N^*)． ……6分

(II)a_n+2^n-1=2^n-1+2^n-1=2ⁿ ……………………8分

所以数列{a_n+2^n-1）是以2为首项，2为公比的等比数列．……………………10分

所以…………………………13分

选②

(I)因为a_n+1-a_n=2(n∈N^*)，

所以数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列． ……………………2分

所以a_n=1+(n-1)×2=2n-1.………………………………………………4分

数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1(n∈N^*)． ………………………………6分

(II)a_n+2^n-1=2n-1+2^n-1, …………………………………………8分

所以S_n= (1+3+…+2n-1)+（1+2+…+2^n-1）

…………………………………13分

选③

(I)因为a_n+1+a_n=2(n∈N^*)，

所以a_n+a_n-1=2，(n≥2，n∈N^*)． …………………………2分

两式相减得a_n+1-a_n-1=0，(n≥2，n∈N^*)， ………………………………4分

即a_n+1=a_n-1(n≥2，n∈N^*）． …………………………6分

又因为a₁=a₂=1，

所以数列{a_n}是常数列，………………………………………………7分

故数列{a_n}的通项公式为a_n=1(n∈N^*)． ………………………………8分

(II)a_n+2^n-1 =1+2^n-1,

所以……………13分

17．（本小题14分）

解：(I)根据频率分布直方图可知，样本中[60，100]的频率为：

(0.030+0.015+0.010+0.005) ×10=0.6, …………………………………3分

所以从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意“的概率约为0.6．

……………………………………4分

(II)用频率估计概率，则“满意“的概率为，“不满意“的概率为．…………5分

X的所有可能取值为0，1，2． ………………………6分

； …………………8分

；……………………………………10分

；………………………………12分

所以X的分布列为

数学期望………………………………14分

(18)（本小题14分）

(I)证明：因为∠ADE=∠EDC= ，

所以ED⊥AD，ED⊥DC． …………………2分

因为AD DC=D，AD，DC 平面ABCD， …………3分

所以ED⊥平面ABCD． ……………………………4分

(II)证明：因为AB∥CD，CD∥EF，

所以AB∥EF． ……………………………………………5分

因为AB=EF，

所以四边形ABFE是平行四边形． ……………………………………6分

所以AE∥BF．

因为AE 平面BCF，BF 平面BCF，

所以AE∥平面BCF． ……………………………………7分

因为AE平面AEM，平面AEM 平面BCF=MN，

所以AE∥MN． ………………………………………8分

(III)解：因为ED⊥AD，ED⊥DC，AD⊥DC，所以如图建立空间直角坐标系D-xyz，

由AB=EF=1,DA=DC=DE=2，可知D(0，0，0)，A(2，0，0)， B(2，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，F(0，1，2)， =(-2，0，2)，
=（0，1，-2）， ……9分

设
，

则

=(0,1,0)+λ(0,1,-2)=(0,1+λ，-2λ),

设m=(x，y，z)是平面AEM的法向量，

则，即，…………10分

所以． …………11分

因为n =(1，0，0)是平面CDEF的法向量，

所以………………12分

因为，解得． …………13分

所以平面AEM与平面CDEF所成锐二面角的余弦值为时，．

……………14分

(19)（本小题15分）

解：(I)函数f (x)的定义域为（0，+∞）． ……………………1分

若a=0，则，， ……………………2分

令f(x) =0．得x=1， ……………………………………3分

随x的变化，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示

……………5分

所以a=0时，f(x)的最小值为
． …………6分

(II)因为， …………7分

当a≤0时，x-a>0，

令f'(x)>0，得lnx>0，所以x>1，f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，

令f'(x)<0，得lnx>0，所以0<x<1，f(x)在区间(0，1)上单调递减．

……………9分

当0<a<1时，令f’（x）=0，得x=1或x=a，

随x的变化，f'(x)，f (x)的变化情况如下表所示

所以f(x)在区间（0，a）上单调递增，在区间(a，1)上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增． …………………………．11分

当a=1时，因为f'(x)= 2(x-1)lnx≥0，当且仅当x=1时，f'(x)=0，

所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增， ……………………12分

当a>1时，令f'(x)=0，得x=1或x=a，

随x的变化，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示

所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，a)上单调递减，在区间(a，+∞)上单调递增．………………………………14分

综上所述，

当a≤0时，f(x)的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为(0，1)；

当0<a<1时，f(x)的单调递增区间为(0，a)，(1，+∞)，单调递减区间为（a，1）；

当a=1时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；

当a>1时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，(a，+∞)，单调递减区间为（1，a）．

………………………………15分

20．（本小题15分）

解：(I)当直线l斜率不存在时，其方程为x=-1. ………………………………2分

由得或 ……4分

所以 ……………………5分

(II)假设存在P(m，0)，使为定值，

①当直线l斜率存在时，

设直线l的方程为：y=k（x+1），A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)， ……………………6分

由
得，

则. …………………………8分

所以

=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂

=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+k²(x₁+1)(x₂+1)

=x₁x₂ -m(x₁+x₂)+m²+k²x₁x₂+ k² (x₁+x₂)+k²

= (k²-m)(x₁+x₂)+(k²+1)x₁x₂+k²+m²

……………………11分

若为常数，只需，

解得，此时.…………………………13分

所以存在点，使为定值.

②当直线l与x轴垂直时，

不妨设,

当点P坐标为时，.

综上，存在点,使为定值.…………………………15分

21．（本小题14分）

解：(I)因为4+1 A，|4-1| A，所以数集A不具有性质P；………………3分

(II)(i)因为a₂₀₂₁+ a₂₀₂₁= 2a₂₀₂₁>a₂₀₂₁，所以a₂₀₂₁+a₂₀₂₁
B，

所以|a₂₀₂₁-a₂₀₂₁|=0∈B，则a₁=0．

因为a_i<a_i+1（i=1，2，…，2020)，

所以a₂₀₂₁+a₂₀₂₀>a₂₀₂₁+a₂₀₁₉>…>a₂₀₂₁+a₂>a₂₀₂₁.

所以a₂₀₂₁+a_iB(i=2，3，…，2020)．

所以a₂₀₂₁-a_i∈B(i=2，3，…，2020)．

因为0<a₂₀₂₁-a₂₀₂₀<a₂₀₂₁-a₂₀₁₉<…<a₂₀₂₁-a₂<a₂₀₂₁,

所以a₂₀₂₁-a_i=a_2022-i（i=2，3，…，2020)．
①

所以a₂₀₂₁=a₂₀₂₀+a₂,a₂₀₂₁=a₂₀₁₉+a₃.

因为a₂₀₂₀+a₂₀₁₉>a₂₀₂₀+a₂₀₁₈>…>a₂₀₂₀+a₃>a₂₀₂₀+a₂=a₂₀₂₁,

所以a₂₀₂₀ +a_iB(i=3，4，…，2019)．

所以a₂₀₂₀-a_i∈B(i=3，4，…，2019)．

因为0<a₂₀₂₀-a₂₀₁₉<a₂₀₂₀-a₂₀₁₈<…<a₂₀₂₀-a₃<a₂₀₂₀,

所以a₂₀₂₀-a₂₀₁₉=a₂,a₂₀₂₀-a₃=a₂₀₁₈.

否则a₂₀₂₀-a₂₀₁₉=a_k(k≥3)，得a₂₀₂₀≥a₃+a₂₀₁₉=a₂₀₂₁矛盾．

a₂₀₂₀-a₃= a_l(l≥2019)，得a₂₀₂₀≥a₃+a₂₀₁₉=a₂₀₂₁矛盾，

所以a₂₀₂₀-a_i=a_2021-i(i=3，…，2019)．
②

①–②得a_2022-i-a_2021-i=a₂₀₂₁-a₂₀₂₀=a₂(i=3，…，2019),

即a₃-a₂=a₄-a₃=…=a₂₀₁₉-a₂₀₁₈=a₂.

所以a_i+1-a_i= a₂（i=1，2，…，n-1）．

所以a₁，a₂，…，a_n是等差数列． …………………………12分

(ii)n的最大值是4． ………………………………………………14分