本试卷共三道大题，25道小题，满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. 直角三角形 B. 圆 C. 等边三角形 D. 四边形
2. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点
的是
A. 
B. 
C. 
D.
3. 若关于x的方程
的一个根是－1，则a的值是
A. 1 B. －1 C. 
D. －3
4. 若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是
A. 正比例函数关系 B. 反比例函数关系
C. 一次函数关系 D. 二次函数关系
5. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△
关于原点O成中心对称的是
6. 不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张，从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是
，则n的值是
A. 250 B. 10 C. 5 D. 1
7. 如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离，小明应该测量的是
A. 线段BP B. 线段CP C. 线段AB D. 线段AD
8. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型，若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是
A. 
B. 
C. 
D.
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x>0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是______________。
10. 如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D，若OA＝4，则BC的长为___________。
11. A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是____________。
12. 2017年生产1吨某种商品的成本是3 000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5 000元，求该种商品成本的年平均增长率，设年平均增长率为x，则所列的方程应为____________（不增加其它未知数）。
13. 在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为______________________。
14. 如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC＇，连接BC＇和CC＇，则∠
的度数为___________。
15. 已知抛物线
与直线
相交于A，B两点，若点A的横坐标
，则点B的横坐标
的值为__________。
16. 如图1，在△ABC中，AB>AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AC的长为__________，线段AB的长为___________。
三、解答题（本题共52分，第17—21题，每小题5分，第22题6分，第23—25题，每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17. 已知：如图，线段AB。
求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°。
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；
④分别连接AC，BC。
△ABC就是所求作的直角三角形。
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明。
证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝_________°（_____________________）（填推理的依据）。
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，
，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠A＝_________°。
18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，－1），且过点B（1，4），C（－2，1）。
（1）求二次函数的解析式；
（2）当
时，求y的取值范围。
19. 如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E。
（1）求证：AB＝BF；
（2）若
，求
的值。
20. 关于x的一元二次方程
。
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝－4。
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根。
21. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线
过点
，与直线
交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）。
（1）求k的值；
（2）求点B，C的坐标；
（3）若直线
与双曲线
交于点
，与直线
交于点
。当
时，写出t的取值范围。
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D。
（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；
（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径。
23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
。
（1）若此抛物线经过点（－2，－2），求b的值；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点
和
，且
，求b的取值范围。
24. 在△ABC中，
，CD⊥AB于点D，
。
（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，
①AC的长为______________；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是____________，∠BCE与∠A的数量关系是_____________________；
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE。
①按要求补全图形；
②求AE的长。
25. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1。
给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段
分别为点A，B的对应点）。线段
长度的最小值称为线段AB到⊙O的”平移距离”。
（1）已知点A的坐标为（－1，0），点B在x轴上。
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的”平移距离”为___________；
②若线段AB到⊙O的”平移距离”为2，则点B的坐标为____________；
（2）若点A，B都在直线
上，且
，记线段AB到⊙O的”平移距离”为
，求
的最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的”平移距离”为
，直接写出
的取值范围。
【试题答案】
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | B | A | C | B | D | B | C | D |
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 答案不唯一，如
10. 
11.
12. 
13.
14. 30° 15. 3 16.
三、解答题（本题共52分，第17—21题，每小题5分，第22题6分，第23—25题，每小题7分）
17. 解：（1）补全的图形如图所示。 2分
（2）90，直径所对的圆周角是直角，30。 5分
18. 解：（1）设二次函数的解析式为
。
∵点
都在二次函数的图象上，
解得
∴二次函数的解析式为
。 3分
（2）
时，
时，
。
顶点坐标为
。
∴当
时，y的取值范围为
。 5分
19.（1）证明：∵AM平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵BF∥AD，
∴∠3＝∠2， 1分
∴∠1＝∠3，
。 2分
（2）解：
，
， 3分
∵BF∥AD，
∴△EFC∽△EAD， 4分
。 5分
20. 解：（1）∵方程
有两个相等的实数根，
，
。 1分
（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且
，
，
解得
。 2分
②答案不唯一，如
时，方程的两根为
。 5分
（参考：
）
21. 解：（1）∵双曲线
过点
，
。 1分
（2）由
得
，
去分母，得
，
解得
，
经检验
是原方程的解。
，
∵点B的横坐标小于点C的横坐标，
。 3分
（3）当
时，
，或
。 5分
22. 解：（1）直线AB与⊙D相切。 1分
证明：作DE⊥AB于点E，
∵∠DCA＝90°，AD是∠BAC的平分线，
，
∴直线AB与⊙D相切。 2分
（2）
，
，
∵∠BCA＝∠BED＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BED， 3分
，
，
，
。 4分
设
，则
，
在Rt△ABC中，
，
，
解得
，
∴⊙D的半径为3。 6分
23. 解：（1）∵抛物线
经过点
，
，
。 2分
（2）顶点的横坐标
，纵坐标
，
∴顶点坐标为
。 4分
（3）由（1）知，当抛物线经过点
时，
，
当抛物线经过点（2，2）时，
。
①当
时，令
，则
；
令
，则
。
时，y随着x的增大而增大，
时，y随着x的增大而减小，
符合题意；
②当
时，令
，则
；
令
，则
。
时，y随着x的增大而减小，
时，y随着x的增大而增大，
符合题意；
③当
时，令
，则
；
令
2，则
。
∵抛物线的开口向上，
不符合题意。
综上所述，b的取值范围为
。 7分
24. 解：（1）①
。 1分
②
，∠BCE＝2∠A。 3分
（2）依题意补全图形，如图。 4分
作∠ACM＝∠BCE，在射线CM上截取
，连接AF，FB，
∴∠ACM＋∠FCE＝∠BCE＋∠FCE。
即∠ACE＝∠FCB，
，
∴△ACE≌△FCB（SAS），
。 5分
过点C作CG⊥AF于点G，
∴∠CGF＝90°，
，
∴∠ACF＝2∠ACG，AF＝2AG，
∵∠BCE＝2∠BAC，
∴∠ACG＝∠BAC。
∴CG∥AD，
∴∠BAF＝∠CGF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AGC＝∠BAF＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCG是矩形，
，
。 6分
在Rt△BAF中，∠BAF＝90°，
，
，
。 7分
25. 解：（1）①线段AB到⊙O的”平移距离”为
。 1分
②点B的坐标为
或（7，0）。 3分
（2）如图，取AB的中点M，连接OM交⊙O于点
，以
为中点作线段
，
使得
∥AB，且
，
∴四边形
为平行四边形。 4分
由题意可知
，
设直线
交x轴于点C，
交y轴于点D，
，
，
过点O作ON⊥直线CD于点N，
交⊙O于点
，
在Rt△COD中，可得
，
，
，
，
，
的最小值是
（当点M与点N重合时取得）。 5分
（3）
。 7分