北京101中学2021届下学期初中九年级4月月考数学试卷

（本试卷满分100分，考试时间120分钟）

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1. 下面的几何体中，俯视图为三角形的是（
）

A B C D

2. 为解决延期开学期间全市初高三学生的学习需求，提升学生的实际获得，北京市教委打造了“答疑平台“，全市144000名初高三学生全部纳入在线答疑辅导范围。将144000用科学记数法表示应为（
）

A. 144×10³ B. 14.4×10⁴ C. 1.44×10⁵ D. 1.44×10⁶

3. 如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1＝40゜，则∠2等于（
）

A. 40゜ B. 50゜ C. 60゜ D. 140゜

4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（
）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

5. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（
）

A. a＞-4 B. bd＞0 C. |a|＞|b| D. b＋c＞0

6. 把2a²-8分解因式，结果正确的是（
）

A. 2（a²-4） B. 2（a-2）² C. 2（a＋2）（a-2） D. 2（a＋2）²

7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90゜，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若DE＋BF＝8，则BF的值为（
）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50＋25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（
）

A. 购买A类会员年卡 B. 购买B类会员年卡

C. 购买C类会员年卡 D. 不购买会员年卡

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 如果在实数范围内有意义，那么实数a的取值范围是__________。

10. 写出一个比3大且比4小的无理数：_________。

11. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为_________。

12. 如果a＋b＝2，那么代数式（a-）·的值是_________。

13. 如图，⊙O的半径为4，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，OD＝2，则∠BAC＝__________。

14. 小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是__________cm²。

15. 在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A₁OB₁，已知A（2，3），则点A₁的坐标是___________。

16. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y’），给出如下定义：

若y’＝，则称点Q为点P的“可控变点“。

（1）点（-3，4）的“可控变点“的坐标为___________；

（2）若点N（m，2）是函数y＝x-1图象上点M的“可控变点“，则点M的坐标为___________。

三、解答题（本题共68分，第17～20题每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23～24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题7分）

17. 计算：4cos30゜＋（1-）⁰–＋|-2|。

18. 解不等式组。

19. 已知x²＋4x＋3＝0，求代数式（x＋3）²-2（x-2）的值。

20. 关于x的一元二次方程x²–（k＋3）x＋2k＋2＝0。

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围。

21. 甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海。已知北京到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的倍，全程运行时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间。

22. 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45゜。

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB＝14，DE＝8，求sin∠ABE的值。

23. 已知：在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax＋a-2都经过平面内一个定点A。

（1）求点A的坐标；

（2）反比例函数y＝的图象与直线y＝ax＋a-2交于点A和另外一点P（m，n）。

①求b的值；

②当n＞-2时，求m的取值范围。

24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB。

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长。

25. 在电影《流浪地球》和《绿皮书》上映期间，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影的打分，过程如下。

收集数据 20名大学生对两部电影的打分结果如下：

《流浪地球》

《绿皮书》

（1）整理、描述数据
绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整；

（说明：60≤x＜70表示一般喜欢，70≤x＜80表示比较喜欢，80≤x＜0表示喜欢，90≤x＜100表示超级喜欢）

分析数据、推断结论

（2）估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有___________人；

（3）你认为观众更喜欢这两部电影中的___________（填《流浪地球》或《绿皮书》），理由是____________________________________________。

26. 已知抛物线G：y＝mx²-2mx-3有最低点。

（1）求二次函数y＝mx²-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G₁。经过探究发现，随着m的变化，抛物线G₁顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P（s，t），直接写出点P的纵坐标t的取值范围。

27. 如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120゜，点D为BC边上任意一点，将DA绕D点逆时针旋转120゜得到DE。连接AE，将AE绕A点逆时针旋转120゜得到AG，连接CG。

（1）依题意补全图形；

（2）求∠EBD的度数；

（3）直接写出BE²，CD²与AD²的数量关系。

28. 对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形W：若在图形G上存在点P，使得P到图形W上各点的最短距离为1，称图形G为图形W的同类图形，点P为图形W的同类点。

（1）已知直线l：y＝x，

①判断直线m：y＝-x是否为直线l的同类图形。如果是，写出直线l的同类点P的坐标，如果不是，请说明理由；

②点A为x轴上一动点，⊙A半径为1，若⊙A为直线l的同类图形，求点A的横坐标x_A的取值范围；

（2）已知坐标轴上的点R（5，0），Q（0，5）。点B，C在直线y＝x＋b上，且B（-1，t），C（1，s）。线段RQ是线段BC的同类图形，直接写出b的取值范围。

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

三、解答题（本题共68分，第17~20题每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23~24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题每小题7分）

17. ——————4

—————— 5

18. 由（1）得 ——————————2

由（2）得 ——————————4

不等式组的解集为————————5

19. ——————3

—————4

——————5

20.（1）

方程总有两个实数根 ——————2

（2）

有一个根小于1， ——————5

21. 解：设列车甲从北京到上海的运行速度为每小时x 千米 ————1

则

解得 ——————3

经检验，为原方程的解且符合题意 ——————4

时间： ——————5

答：列车甲从北京到上海运行的时间为4.5小时 ——————6

22. （1）证明：四边形是平行四边形，

//BC．

∠DAF=∠F．

∠F=45°，

∠DAE=45°．………………………………………1分

AF是∠BAD的平分线，

．

．

又四边形是平行四边形，

四边形ABCD是矩形． …………………………2分

（2）解：过点B作于点H，如图．

四边形ABCD是矩形，

AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．

AB=14，DE=8，

CE=6．

在Rt△ADE中，∠DAE=45°，

∠DEA=∠DAE=45°．

AD==8．

BC=8．

在Rt△BCE中，由勾股定理得

． ……………………………………………3分

在Rt△AHB中，∠HAB=45°，

． …………………………………………4分

在Rt△BHE中，∠BHE=90°，

sin∠AEB=． ……………………………………………5分

23.（1）解：（1），

当时，，

直线都经过平面内一个定点；——————3

（2）①反比例函数的图象经过点，

；

②若点在第一象限，当时，，

若点在第三象限，当时，，

综上，当时，或． ————————6

24. 解：（1）证明：连接AE，

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．

∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线． ——————3

（2）过点C作CG⊥AB于点G．

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=

∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，

∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2，

∴sin∠2=，cos∠2=，

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，

∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA ∴

∴BF== ————————6

25.（1）
补图 ————1

88 ，97 ————3

（2），由此可以估计超级喜欢《绿皮书》的约有720人 ————5

（3）答案不唯一：

如：观众更喜欢这两部电影中的《绿皮书》

理由是喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢《流浪地球》的中位数 ——————5

26. 解：（1），抛物线有最低点，

二次函数的最小值为；——————1

（2）∵抛物线G：

平移后的抛物线：

抛物线顶点坐标为

，

即，变形得

，

与x的函数关系式为；————4

（3）法一：如图，函数H：图象为射线

时，；时，

函数H的图象恒过点

抛物线G：

时，；时，

抛物线G恒过点

由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则，

点P纵坐标的取值范围为.————6

27. 解：（1）2；；

（2）作交BA延长线于F，连接AE，作交ED延长线于G，连GC，如图：

，，

，

，，都是顶角为的等腰三角形，

，，，

≌，

，

同理≌，

，，

，

，

，，，

，则，

且，则，

可知：，

．

．——————7

28. （1）①是，.

②由题意可知，直线的所有同类点组成平行于直线，且到直线的距离为的直线.

设该直线与轴交于点，与轴交于点.

如图，当点在原点上方时，作于点，

可知.

由直线的表达式为，可知.

所以.

直线与的交点即为满足条件的点.

连接，作轴于点，可知.

在中，可求.

所以.

在中，可求.

所以，

所以点的坐标为.

同理可求点的坐标为.

如图，

当点在原点下方时，可求点的坐标为，点的坐标为.

综上所述，点的坐标为，，，.

（2）. ————————7