北京市海淀区2021届下学期高三年级期末练习数学试卷（二模）

本试卷150分，考试时长120分钟。

第一部分（选择题
共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点（-3，4），则cosθ=

(A) (B) (C) (D)

(2)设a∈R.若(2+i)（a-i）=-1-3i，则a=

(A)-1 (B) -2 (C)1 (D)2

(3)已知a=0.3^1.5，b=log_1.50.3，c=1.5^0.3，则

(A)a<b<c (B)b<a<c

(C)a<c<b (D)b<c<a

(4)已知F为抛物线y²=4x的焦点，P（x₀，y₀）是该抛物线上的一点，若|PF|>2，则

(A) x₀∈ (0,1) (B) x₀∈(1,+∞)

(C) y₀∈(2,+∞) (D) y₀∈(-∞,2)

(5)向量a，b，c在边长为l的正方形网格中的位置如图所示．若e为与c同方向的单位向量，则 (a+b)·e=

(A)1.5 (B) 2 (C) -4.5 (D) -3

(6)已知实数x，y满足x²+y²+4x-6y+12=0，则x的最大值是

(A)3 (B)2 (C) -1 (D) -3

(7)已知指数函数f(x)=a^x，将函数f(x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，则a的值是

(A) (B) (C) (D)

(8)已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁（如图1），点P在侧面CDD₁C₁内（包括边界）．若三棱锥B₁-ABP的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是

(9)已知实数α，β．“α+β=2kπ，k∈Z“是“sin（α+β）=sinα+sinβ”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(10)已知函数若对于任意正数k，关于x的方程f(x)=k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为

(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数

第二部分（非选择题
共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

(11)已知数列满足a₁=2，a_n+1－2a_n=0（n=1，2，…），则的前6项和为__________.

(12)已知（1+2x）ⁿ的展开式的二项式系数之和为16，则n=___________；各项系数之和为_________．
（用数字作答）

(13)在△ABC中，a=3，b=7，∠B=，则△ABC的面积为_________.

(14)已知双曲线M：的左焦点为F₁，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点，若四边形F₁ABO为菱形，则双曲线M的离心率为_________.

(15)普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列“(Look and say sequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生．以i(i∈N，0≤i≤9)为首项的“外观数列“记作A_i，其中A₁，为1，11，21，1211，111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11;第二项外观上看是2个1，因此第三项为21;第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…．按照相同的规则可得其它A_i，例如A₃为3，13，1113，3113，132113，…．给出下列四个结论：

①若A_i的第n项记作a_n，A_j的第n项记作b_n，其中2≤i<j≤9，则n∈N*，a_n－b_n=i-j;

②A₁中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3；

③A₁的每一项中均不含数字4；

④对于k≥2，i≠1，A_i的第k项的首位数字与A₁的第k+2项的首位数字相同．

其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

(16)（本小题共14分）

如图，在三棱锥P-ABC中，BC⊥AC，BC⊥PC，AC=BC=6，PA =PC=5，D，E分别是AC，PC的中点．

(I)求证：平面PAC⊥平面ABC;

(Ⅱ)求二面角A-DE-B的余弦值．

(17)（本小题共14分）

已知函数的部分图象如图所示．

(I)直接写出的值；

(Ⅱ)再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数f(x)在区间上的最小值．

条件①：直线为函数y=f（x）的图象的一条对称轴；

条件②：（，0）为函数y=f(x)的图象的一个对称中心．

(18)（本小题共14分）

为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王“冬奥知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如下：

(I)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；

(Ⅱ)从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；

(Ⅲ)为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者．记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ₁，这10名女生竞赛成绩的平均数为μ₂，能否认为μ₁>μ₂，说明理由．

(19)（本小题共14分）

椭圆C：的左、右焦点分别为F₁, F₂,E是椭圆C上一点，且|F₁F₂|=2,|EF₁|+|EF₂|=4.

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)M,N是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），∠MF₁N=∠MEN=90°，直线EM交x轴于点P，求的值．

(20)（本小题共15分）

已知函数f(x) =x-alnx.

(I)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若关于x的方程x-alnx=0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为x₀，求证：(a-1)x₀>a.

(21)（本小题共14分）

已知有限集X，Y，定义集合X-Y= {x|x∈X，且xY}，|X|表示集合X中的元素个数．

(I)若X={1，2，3，4），Y={3，4，5}，求集合X-Y和Y-X，以及|(X-Y)(Y-X)|的值；

(Ⅱ)给定正整数n，集合S={1，2，…，n}.对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合C={x|x=a+b，a∈A，b∈B}.

①求证：|A-S|+|B-S|+|S-C|≥1；

②求|（A-S）(S-A )|+|（B-S）(S-B)|+|(C-S)(S-C)|的最小值．

参考答案

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

三、解答题共6小题，共85分。

(16)（本小题共14分）

解：(I)因为BC⊥PC，AC⊥BC，ACPC =C，AC平面PAC，PC平面PAC，

所以BC⊥平面PAC．

又因为BC平面ABC，

所以平面ABC⊥平面PAC．

( II)连结PD，因为PA= PC，D是AC的中点，

所以AD= DC，PD⊥AC.

过C作CH∥PD，则CH⊥AC.

因为BC⊥平面PAC，CH平面PAC，

所以BC⊥CH，

又BC⊥AC，

如图，以C为原点，分别以CB，CA，CH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C—xyz，

因为AC=6，PC =5，

所以PD=4.

因为BC =6，

所以C(0,0,0),B(6,0,0)，A(0,6,0),D(0,3,0),P(0,3,4).

因为E是PC的中点，

所以E(0，，2)．

所以．

设平面DEB的法向量为n=(x，y，z)，

则即

令x= -2，则y=-4，z=-3．

所以n= (-2，-4，-3)．

由( I)可得：BC⊥平面PAC．

取平面ADE的一个法向量为

m=(1，0，0)．

所以

所以二面角A-DE-F的余弦值为．

(17)（本小题共14分）

解：(I) =2．

(II)选择条件①

因为直线为函数的图象的一条对称轴，

所以
当时，，k∈Z，

即，k∈Z．

因为，

所以.

因为，

所以.

所以A=2.

所以．

因为当时，

所以当或时，即当或时，

f(x)取到最小值，最小值为．

选择条件②

因为（，0）为函数的图象的一个对称中心，

所以当时，，k∈Z，

即，k∈Z．

因为，

所以．

因为，

所以．

所以A=2.

所以，

因为当时，

所以当或时，即当或时，

f(x)取到最小值，最小值为．

(18)（本小题共14分）

解：(I)由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名，

所以随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为．

所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为．

(II)记(i=1，2)表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上“，B_j(j=l，2)表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上“，C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多“.

同(I)，从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，该女生竞赛成绩在90分以上的概率估计为，则

(III)参考答案：不能确定是否有，

上述10名男生，10名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以是随机的，

所以不能确定是否有．

(19)（本小题共14分）

解：(I)由题意知：

解得

所以椭圆C的方程为．

(II)设M(0，m)，N（0，n），E.由(I)可知F₁(-l，0)，F₂(1，0)．

因为∠MF₁N=90°，

所以，即．

所以mn= -1．

又因为∠MEN=90°，

所以，即．

又因为,

所以．

所以．

所以或.

因为点M与点E位于x轴的两侧，即与m异号，

所以．

所以.

(20)（本小题共15分）

解：(I)因为，

所以．

所以，

又因为f(1)=1，

所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为，即

．

(II)f(x)的定义域为(0，+∞)．

当a≤0时，f'(x)>0，所以f (x)的单调递增区间为（0，+∞）．

当a>0时，令f'(x)=0，得x=a.

f(x)与f'(x)在区间(0，+∞)上的情况如下：

所以f(x)的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）．

(III)由(II)知：

①当a≤0时，f (x)在(0，+∞)上单调递增，

所以f(x)=0至多有一个实根，不符合题意．

②当a>0时，f(x)在（0，a）上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，

所以f(x)的最小值为.

若f（a）≥0，则f(x)≥0，所以f(x)=0至多有一个实根，不符合题意，

若f（a）<0，即，得a>e.

又f(1)=1>0，且f (x)在（0，a）上单调递减，

所以f(x)在（0，a）上有唯一零点．

因为方程有两个不相等的实数根，且较小的实数根为x₀，

所以f(x)在（0，a）上的唯一零点就是x₀．

方法一：

所以．

所以.

所以““等价于““，即．

由(II)知，当a=l时，的最小值为f(1)=1．

又因为，所以.

所以．

方法二：

““等价于“”

又，

所以．

因为f(x)在（0，a）上单调递减，

所以““等价于“ “，

即（*）

因为a>e，

令，则t>l，．

即（*）等价于，即．

所以““等价于““．

令．

所以．

当t>l时，，所以g(t)在(1，+∞)上单调递增，

所以，而g(1)=0．

所以成立．

所以．

(21)（本小题共14分）

解：(I) .

(II)①显然.

若中含有一个不在S中的元素，则，即

.

若,且，则．

此时A中最小的元素，B中最小的元素，

所以C中最小的元素．

所以.

因为S={1，2，…，n}，

所以，即.

综上，.

②由①知.

所以

.

若，或，则．

若，且，设，

且，

则.

若，则.

若，

因为，

所以这个数一定在集合C中，且均不等于1．

所以．

所以

所以

当A=B=S，C={2，3，…，2n}时，

.

所以的最小值是.