北京市丰台区2021届下学期高三年级综合练习（一）数学试卷（一模）

本试卷满分共150分
考试时间120分钟

第一部分
（选择题
共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合A={x|-2<x≤1}，B={x|0<x≤3}，则AB=

(A){x|-2<x<0}             (B){x|0 <x≤1}

(C){x|1<x≤3}                 (D){x|-2<x≤3}

(2)在复平面内，复数z=3-4i，则对应的点位于

(A)第一象限                 (B)第二象限

(C)第三象限                 (D)第四象限

(3)已知双曲线(a>0)的离心率是，则a=

(A)             (B)2

(C)
            (D)4

(4)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，且，把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转π弧度，这时终边对应的角是β，则sinβ=

(A)
                    (B)

(C)
                    (D)

(5)若直线y=kx+1是圆的一条对称轴，则k的值为

(A)
                    (B)-1

(C)1                         (D)2

(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为

(A)2

(B)

(C)

(D)4

(7)P为抛物线y²=2px(p>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p=

(A)2             (B)4

(C)4或9         (D)2或18

(8)大气压强，它的单位是“帕斯卡“(Pa,1Pa=1N/m²)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p=p₀e^-kh（k=0.000126 m^-1），p₀是海平面大气压强．已知在某高山A₁，A₂两处测得的大气压强分别为p₁, p₂,，那么A₁，A₂两处的海拔高度的差约为（参考数据：ln2≈0.693）

(A)550 m     (B)1818 m

(C)5500 m     (D) 8732 m

(9)已知非零向量a，b，c共面，那么“存在实数λ，使得a=λc成立“是“(a·b)c=a(b·c)”的

(A)充分而不必要条件             (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件                 (D)既不充分也不必要条件

(10)已知函数若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则实数m的取值范围是

(A)(0,2)         (B)（-∞，-2)
(0,2)

(C)（-2,0)         (D)(-2,0)
(2,+∞)

第二部分
（非选择题
共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)函数的定义域为________．

(12)在的展开式中，常数项为________．（用数字作答）

(13)在△ABC中，a=
，b =
，B=2A，则cosA=________．

(14)设等比数列{a_n}满足a₁+a₂=48，a₄+a₅=6，则1og₂(a₁a₂a₃…a_n)的最大值为________．

(15)如图，从长、宽、高分别为a，b，c的长方体AEBF-GCHD中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A-BCD．下列四个结论中，所有正确结论的序号是________．

①三棱锥A-BCD的体积为abc；

②三棱锥A-BCD的每个面都是锐角三角形；

③三棱锥A-BCD中，二面角A-CD-B不会是直二面角；

④三棱锥A-BCD中，三条侧棱与底面所成的角分别记为α，β，γ，则sin²α+sin²β+ sin²γ≤2．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)（本小题13分）

已知函数．

(I)当时，求的值；

(Ⅱ)当函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是时，__________．

从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答．

①求f(x)在区间[0，]上的最小值；

②求f(x)的单调递增区间；

③若f(x)≥0，求x的取值范围．

注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分。

(17)（本小题14分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=
，M是棱PB上的点，O是AD中点，且PO⊥底面ABCD，OP=
OA．

(I)求证：BC⊥OM；

(Ⅱ)若PM=PB，求二面角B-OM-C的余弦值．

(18)（本小题14分）

某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如下图所示．

(I)从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；

(Ⅱ)从2011年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求X的分布列和数学期望E(X)；

(Ⅲ)将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小．（只需写出结论）

(19)（本小题15分）

已知椭圆长轴的两个端点分别为A（-2，0），B(2，0)，离心率为.

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)P为椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，PB分别交直线x=-6于M，N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q．

(i)求证：直线AP，AN的斜率之积为定值；

(ii)判断M，B，Q三点是否共线，并说明理由．

(20)（本小题15分）

已知函数 (b∈R)．

(I)当b=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；

(Ⅱ)若函数f(x)存在三个零点，分别记为x₁，x₂，x₃（x₁<x₂<x₃）．

(i)求b的取值范围；

(ii)证明：x₁+x₂>0．

(21)（本小题14分）

已知数列A:a₁，a₂，…，a_2n(n∈N*)，现将数列A的项分成个数相同的两组，第一组为B：b₁，b₂，…，b_n，满足b_i≥b_i+1(i=1，2，…，n-1)；第二组为C:c₁，c₂，…，c_n，满足c_i≤c_i+1(i=1，2，…，n-1)，记．

(I)若数列A:1，2，4，8，写出数列A的一种分组结果，并求出此时M的值；

(Ⅱ)若数列A:1，2，3，…，2n,，证明：max{b_i，c_i}≥n+1（i=1，2，…，n）；（其中max{b_i，c_i}表示b_i，c_i中较大的数）

(Ⅲ)证明：M的值与数列A的分组方式无关．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．（0，1] 12． 160 13．

14． 15 15．①②④

三、解答题（共6小题，共85分）

(16)（本小题13分）

解：（I）当时，……………5分

(II)

因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是，

所以，解得．

所以． ………………9分

选①：因为0≤x≤，所以≤2x+≤．

当，即时，

f(x)在区间[0，] 上有最小值为． ……………………13分

选②：令，

解得，

所以函数f(x)的单调递增区间为.

选③：因为f(x)≥0，所以．

所以

解得

(17)（本小题14分）

(I)证明：在菱形ABCD中，∠BAD=，△ABD为等边三角形．

因为O为AD的中点，

所以OB⊥AD．

因为AD∥BC，

所以OB⊥BC．

因为PO⊥底面ABCD，BC平面ABCD，

所以OP⊥BC．

因为OPOB=O，OP，OB平面POB，

所以BC⊥平面POB．

因为M是棱PB上的点，

所以OM平面POB．

所以BC⊥OM．……………………6分

(II)解：因为PO⊥底面ABCD，OB⊥AD，

建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，设OA=1，则OP=OB=．

因为O(0,0,0),A(1,0,0),B(0，,0),C(-2，,0),P(0,0，),

所以= (-2，，0)．

由，

得.

设m=（x，y，z）是平面OMC的法向量，

由，得，

令y=2，则，则．

又因为平面POB的法向量为n=(1，0，0)，……10分

所以.…12分

由题知，二面角B-OM-C为锐二面角，

所以二面角B-OM-C的余弦值为，………14分

(18)（本小题14分）

解：(I)从2011年至2020年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年，2015年，2017年，2018年，2019年和2020年，共6年．

记从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件A，

则 ……………………4分

(II)X的所有可能取值为0，1，2．

；

；

.

所以X的分布列为

数学期望……………………12分

(III)
．…………………………14分

(19)（本小题15分）

解：(I)由题意a=2，，所以.

所以椭圆C的方程为
.………………………4分

(II)(i)证明：设P(x₀，y₀)，

因为P在椭圆C上，所以．

因为直线AP的斜率为
，直线BP的斜率为，

所以直线BP的方程为．

所以N点的坐标为．

所以直线AN的斜率为.

所以直线AP，AN的斜率之积为

………………………9分

(ii)M，B，Q三点共线，

设直线AP斜率为k，易得M(-6，-4k)．

由(i)可知直线AN斜率为，所以直线AN的方程为．

联立可得．

解得Q点的纵坐标为，所以Q点的坐标为Q．

所以，直线BQ的斜率为，直线BM的斜率为.

因为直线BQ的斜率等于直线BM的斜率，

所以M，B，Q三点共线． ………15分

(20)（本小题15分）

解：(I)当b=1时，，得，

因为f(1)= -1，f'(1)=-3，

所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-（-1）=-3(x-1)，即3x+y-2=0．…………………1分

(II)因为，

所以令f'(x)=0，得x=0，x=2．

f'(x)，f(x)随x的变化如下：

所以f(x)的极大值为f(0)=b，极小值为f(2)=b-4． ……………7分

(i)若函数f(x)存在三个零点，分别记为x₁，x₂，x₃ (x₁<x₂<x₃)，

则，所以0<b<4． ………………10分

当0<b<4时，f（-1）=b-4<0，f(3)=b>0，

此时f（-1）·f(0)<0，f (0) ·f(2)<0，f(2)·f(3)<0，故f(x)存在三个零点，

所以若函数f(x)存在三个零点，b的取值范围是0<b<4． ………………12分

(ii)证明：因为x₁，x₂，x₃ (x₁<x₂<x₃)是函数f(x)的零点，

所以x₁<0<x₂<x₃．

因为，

所以

．

因为f(x₁) =0，所以f(-x₂)<f(x₁)．

又因为x₁，-x₂∈（-∞，0），且f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，

所以-x₂<x₁，即x₁+x₂>0． ………………15分

(21)（本小题14分）

解：( I)可将数列A分成：B：8，4；C：1，2．此时M=|8-1|+|4-2|=9． …………3分

（II）因为b_i≥b_i+1，c_i≤c_i+1(i=1,2,L，n-1)，

所以max {b_i，c_i}≥b_i≥b_i+i≥b_i+2≥L≥b_n⁽i=1，2，L，n)，

max{b_i，c_i）≥c_i≥c_i-1≥c_i-2≥L≥c₁．

所以max {b_i，c_i}≥max{b_i,b_i+1，b_i+2,L，b_n，c_i，c_i-1, c_i-2,L，c₁}．

因为b_i，b_i+1, b_i+2,L，b_n，c_i，c_i-1, c_i-2,L，c₁共n+1项，

所以max{b_i,b_i+1，b_i+2,L，b_n，c_i，c_i-1, c_i-2,L，c₁}≥n+1．

所以max{b_i，c_i}≥n+1． ……………9分

(III)不妨将数列A：a₁,a₂,L,a_2n(n∈N*)重新排序得到

数列A’: a₁‘,a₂ ‘,L,a₂n'(n∈N*)，满足a_i‘≤a_i+1‘(i=1，2，L,2n-1)．

因为b_i≥b_i+1，c_i≤c_i+1(i=1,2,L，n-1)，

所以max{b_i,c_i}≥b_i≥b_i+1≥b_i+2≥L≥b_n(i=1，2，L，n），

max{b_i，c_i}≥c_i≥c_i-1≥c_i-2≥L≥c₁

所以max{b_i,c_i}≥max{b_i, b_i+1, b_i+2,L，b_n，c_i,c_i-1, c_i-2,L,c_i}．

因为b_i，b_i+1, b_i+2,L，b_n，c_i，c_i-1, c_i-2,L，c₁共n+1项，

所以max{b_i，c_i}恰为a_n+i‘，a_n+2‘，L，a_2n‘(n∈N*）中某一项．

同理min{b_i，c_i}恰为a₁‘，a₂‘，L，a_n‘(n∈N*)中某一项（其中min{b_i，c_i}表示b_i,c_i中较小的数）．

因为，

所以．

所以M的值与数列A的分组方式无关， ………………14分

（若用其他方法解题，请酌情给分）