北京市西城区2021届下学期高三年级统一测试数学试卷（一模）

本试卷共150分。考试时长120分钟。

第一部分（选择题
共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A＝｛x|x≥1｝，B＝｛-1，0，1，2｝，则A∩B＝

A. ｛2｝            B. ｛1，2｝            C. ｛0，1，2｝        D. ｛x|x≥-1｝

2. 已知复数z满足-z＝2i，则z的虚部是

A. -1            B. 1                    C. –i                    D. i

3. 在（x-）⁶的展开式中，常数项为

A. 15            B. -15                C. 30                D. -30

4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为

A. 12            B. 8＋            C. 16                D. 8＋4

5. 已知函数f（x）＝-log₂x，则不等式f（x）＞0的解集是

A. （0，1）        B. （-∞，2）            C. （2，＋∞）        D. （0，2）

6. 在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是AB的中点，则·＝

A.             B. 4                    C.                 D. 6

7. 在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，则c＝

A.             B.                 C. 6                    D. 5

8. 抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴。该性质在实际生产中应用非常广泛。如图，从抛物线y²＝4x的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，则两条反射光线a’和b’之间的距离为

A.             B.                 C.                 D.

9. 在无穷等差数列｛a_n｝中，记T_n＝a₁-a₂＋a₃-a₄＋a₅-…＋（-1）ⁿ⁺¹a_n（n＝1，2，…），则“存在m∈N*，使得T_m＜T_m＋2“是“｛a_n｝为递增数列“的

A. 充分而不必要条件                    B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件                        D. 既不充分也不必要条件

10. 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记△（X）＝M-m。下列命题中正确的是

A. 已知X＝｛-1，1｝，Y＝｛0，b｝，且△（X）＝△（Y），则b＝2

B. 已知X＝［a，a＋2］，Y＝｛y|y＝x²，x∈X｝，则存在实数a，使得△（Y）＜1

C. 已知X＝｛x|f（x）≥g（x），x∈［-1，1］｝，若△（X）＝2，则对任意x∈［-1，1］，都有f（x）≥g（x）

D. 已知X＝［a，a＋2］，Y＝［b，b＋3］，则对任意的实数a，总存在实数b，使得△（XY）≤3

第二部分（非选择题
共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 函数f（x）＝lnx＋的定义域是________。

12. 已知双曲线C：–＝1，则C的渐近线方程是________；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积是________。

13. 在等比数列｛a_n｝中，a₁＋a₃＝10，a₂＋a₄＝-5，则公比q＝________；若a_n＞1，则n的最大值为________。

14. 已知函数f（x）＝sinx，若对任意x∈R都有f（x）＋f（x＋m）＝c（c为常数），则常数m的一个取值为________。

15. 长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益。每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=）来衡量每座水库的水位情况。假设某次联合调度要求如下：

（i）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间［0，100］；

（ii）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；

（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变。

记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：

①y＝–x²＋6x；②y＝10；③y＝10；④y＝100sinx。

则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是________。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. （本小题13分）

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点。

（I）求证：BD₁∥平面ACE；

（Ⅱ）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值。

17. （本小题13分）

已知函数f（x）＝Asin（x＋）（A＞0，＞0，||＜），且f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件。

（I）确定f（x）的解析式；

（Ⅱ）若f（x）图象的对称轴只有一条落在区间［0，a］上，求a的取值范围。

条件①：f（x）的最小值为-2；

条件②：f（x）图象的一个对称中心为（，0）；

条件③：f（x）的图象经过点（，-1）。

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分。

18.（本小题14分）

天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮。视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领。

下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中a∈［0，1.3］。

（I）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；

（Ⅱ）已知北京的纬度是北纬40°，当且仅当一颗恒星的“赤纬“数值大于-50°时，能在北京的夜空中看到它。现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X颗，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）记a＝0时10颗恒星的视星等的方差为s₁²，记a＝1.3时10颗恒星的视星等的方差为s₂²，判断s₁²与s₂²之间的大小关系。（结论不需要证明）

19. （本小题15分）

已知函数f（x）＝e^x（lnx-a）。

（I）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若a＞1，求证：函数f（x）存在极小值；

（Ⅲ）若对任意的实数x∈［1，＋∞），f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围。

20.（本小题15分）

已知椭圆C：＋＝1（a＞0）的焦点在x轴上，且经过点E（1，），左顶点为D，右焦点为F。

（I）求椭圆C的离心率和△DEF的面积；

（Ⅱ）已知直线y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点。过点B作直线y＝t（t＞）的垂线，垂足为G。判断是否存在常数t，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。

21.（本小题15分）

已知数列A：a₁，a₂，…，a_N（N≥3）的各项均为正整数，设集合T＝｛x|x＝a_j-a_i，1≤i＜j≤N｝，记T的元素个数为P（T）。

（I）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出P（T）的值；

（Ⅱ）若A是递增数列，求证：“P（T）＝N-1″的充要条件是“A为等差数列“；

（Ⅲ）若N＝2n＋1，数列A由1，2，3，…，n，2n这n＋1个数组成，且这n＋1个数在数列A中每个至少出现一次，求P（T）的取值个数。

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1. B 2. A 3. A 4. D 5. D 6. C 7. B 8. C 9. B 10. D

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. （0，1] 12. y＝x，6

13. –，3 14. π（答案不唯一，只要是（2k＋1）π即可）

15. ②④

注：第（12）和（13）题第一空3分，第二空2分。第（15）题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题（共6小题，共85分）

16.（共13分）

解：（I）连接BD交AC于点O，连接OE，

在正方形ABCD中，OB＝OD。

因为E为DD₁的中点，

所以OE∥BD₁ 3分

因为BD₁平面ACE，OE平面ACE，

所以BD₁∥平面ACE。 5分

（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz。

则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1），

所以＝（0，2，0），＝（2，2，0），＝（0，2，1）。 8分

设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z），

所以所以即 10分

令y＝-1，则x＝1，z＝2，

于是n＝（1，-1，2）。 1分

设直线AD与平面ACE所成角为θ，

则sinθ＝|cos<，n>|＝==。 13分

所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为。

17. （共13分）

解：（I）由于函数f（x）图象上两相邻对称轴之间的距离为，

所以f（x）的最小正周期T＝2×＝，＝＝2。 2分

此时f（x）＝Asin（2x＋）。

选条件①②：

因为f（x）的最小值为-A，所以A＝2。 3分

因为f（x）图象的一个对称中心为（，0），

所以2×＋＝k（k∈Z）， 5分

所以＝k–（k∈Z），

因为||＜，所以＝，此时k＝1 7分

所以f（x）＝2sin（2x＋）。 8分

选条件①③：

因为f（x）的最小值为-A，所以A＝2 3分

因为函数f（x）的图象过点（，-1），

则f（）＝-1，即2sin（＋）＝-1，sin（＋）＝–。

因为||<，所以＜＋<， 5分

所以＋＝，＝。 7分

所以f（x）＝2sin（2x＋）。 8分

选条件②③：

因为函数f（x）的一个对称中心为（，0），

所以2×＋＝kπ（k∈Z）， 4分

所以＝kπ-（k∈Z）。

因为||＜，所以＝，此时k＝1。 6分

所以f（x）＝Asin（2x＋）。

因为函数f（x）的图象过点（，-1），

所以f（）＝-1，即Asin（＋）＝-1，Asin＝-1，

所以A＝2。 7分

所以f（x）＝2sin（2x＋）。 8分

（Ⅱ）因为x∈［0，a］，所以2x＋∈[，2a＋]，

因为f（x）图象的对称轴只有一条落在区间［0，a］上，

所以≤2a＋<， 11分

得≤a＜， 13分

所以a的取值范围为[，]。

18.（共14分）

解：（I）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A。由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值。

所以P（A）＝＝。 3分

（Ⅱ）由图表知，有7颗恒星的“赤纬“数值大于-50°，有3颗恒星的“赤纬“数值小于-50°。所以随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4。 4分

，，

，。 8分

所以随机变量X的分布列为：

9分

所以E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＝。 11分

（Ⅲ）s₁²＜s₂²。 14分

19. （共15分）

解：（1）当a＝1时，f（x）＝e^x（lnx-1），

所以f’（x）＝e^x（lnx-1）＋e^x=e^x（lnx＋-1）。 1分

所以f（1）＝-e，f’（1）＝0。 3分

曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝-e。 4分

（Ⅱ）由f（x）＝e^x（lnx-a），得f’（x）＝e^x（lnx＋-a），

令h（x）＝lnx＋-a，则h’（x）＝–＝。 6分

当0＜x＜1时，h’（x）＜0，当x＞1时，h’（x）＞0，

所以h（x）在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，＋∞）上是增函数。

所以h（x）的最小值为h（1）＝1-a。 7分

当a＞1时，h（1）＝1-a＜0，h（e^a）＝e^-a＞0， 9分

又h（x）在（1，＋∞）单调递增，

故存在x₀∈（1，e^a），使得h（x₀）＝0，在区间（1，x₀）上h（x）＜0，在区间（x₀，+∞）上h（x）＞0。 10分

所以，在区间（1，x₀）上f’（x）＜0，在区间（x₀，＋∞）上f’（x）＞0，

所以，在区间（1，x₀）上f（x）单调递减，在区间（x₀，＋∞）上f（x）单调递增，故函数f（x）存在极小值。 11分

（Ⅲ）对任意的实数x∈［1，＋∞），f（x）≥-1恒成立，等价于f（x）的最小值大于或等于-1。

①当a≤1时，h（1）＝1-a≥0，由（Ⅱ）得h（x）≥0，所以f’（x）≥0。

所以f（x）在［1，＋∞）上单调递增，

所以f（x）的最小值为f（1）＝-ae。

由-ae≥-1，得a≤，满足题意。 13分

②当a＞1时，由（Ⅱ）知，f（x）在（1，x₀）上单调递减，

所以在（1，x₀）上f（x）≤f（1）＝-ae＜-e，不满足题意。

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，]。 15分

20.（共15分）

解：（I）依题意，＋＝1，解得a＝2。 1分

因为c²＝a²-b²＝4-3＝1，即c＝1， 2分

所以D（-2，0），F（1，0），

所以离心率e＝＝，△DEF的面积S＝×3×＝。 5分

（Ⅱ）由已知，直线DE的方程为y＝x＋1。

当A（-2，0），B（1，），G（1，t）时，

直线AG的方程为y＝（x＋2），交y轴于点（0，t）；

当A（1，），B（-2，0），G（-2，t）时，

直线AG的方程为y-＝（x-1），交y轴于点（0，）。

若直线AG经过y轴上定点，则t=，

即t＝3，直线AG交y轴于点（0，2） 7分

下面证明存在实数t＝3，使得直线AG经过y轴上定点（0，2）。

联立消y整理，得（4k²＋3）x²＋8kx-8＝0， 8分

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）。

则x₁＋x₂＝，x₁x₂=。 10分

设点G（x₂，3），所以直线AG的方程y-3＝（x-x₂）。 11分

令x＝0，得y＝＋3＝

＝ 12分

因为，

所以y=

所以直线AG过定点（0，2）

综上，存在实数t＝3，使得直线AG经过y轴上定点（0，2） 15分

21.（共15分）

解：（I）因为a₁＝1，a₂＝2，a₃＝4，a₄＝3，

所以T＝｛1，2，3，-1｝，P（T）＝4 4分

（Ⅱ）充分性：若A是等差数列，设公差为d。

因为数列A是递增数列，所以d＞0。

则当j＞i时，a_j-a_i＝（j-i）d。

所以T＝｛d，2d，…，（N-1）d｝，P（T）＝N-1。 6分

必要性：若P（T）＝N-1。

因为A是递增数列，所以a₂-a₁＜a₃-a₁＜…＜a_N-a₁，

所以a₂-a₁，a₃-a₁，…，a_N-a₁∈T，且互不相等。

所以T＝｛a₂-a₁，a₃-a₁，…，a_N-a₁｝。

又a₃-a₂＜a₄-a₂＜…＜a_N-1-a₂＜a_N-a₂＜a_N-a₁，

所以a₃-a₂，a₄-a₂，…，a_N-a₂，a_N-a₁∈T，且互不相等。

所以a₃-a₂＝a₂-a₁，a₄-a₂＝a₃-a₁，…，a_N-a₂＝a_N-1-a₁。

所以a₂-a₁＝a₃-a₂＝…＝a_N-a_N-1，

所以A为等差数列。 9分

（Ⅲ）因为数列A由1，2，3，…，n，2n这n＋1个数组成，任意两个不同的数作差，

差值只可能为±1，±2，±3，…，±（n-1）和±（2n-1），±（2n-2），…，±n。

共2（n-1）＋2n＝4n-2个不同的值；且对任意的m＝1，2，3，…，n-1，n，…，2n-1，m和-m这两个数中至少有一个在集合T中。 11分

又因为1，2，3，…，n，2n这n＋1个数在数列A中共出现N＝2n＋1次，所以数列A中存在a_i＝a_j（i≠j），所以0∈T。

综上，P（T）≤4n-1，且P（T）≥2n。 12分

设数列A₀：1，1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，此时T＝｛0，1，2，…，2n-1｝，P（T）＝2n。

现对数列A₀分别作如下变换：

把一个1移动到2，3之间，得到数列：1，2，2，1，3，3，4，4，…，n，n，2n，

此时T＝｛0，1，2，3…，（2n-1），-1｝，P（T）＝2n＋1。

把一个1移动到3，4之间，得到数列：1，2，2，3，3，1，4，4，…，n，n，2n，

此时T＝｛0，1，2，3，…，（2n-1），-1，-2｝，P（T）＝2n＋2。

……

把一个1移动到n-1，n之间，得到数列：1，2，2，3，3，4，4，…，n-1，n-1，1，n，n，2n，

此时T＝｛0，1，2，3，…，（2n-1），-1，-2，…，2-n｝，P（T）＝2n＋n-2＝3n-2。

把一个1移动到n，2n之间，得到数列：1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，1，2n，

此时T＝｛0，1，2，3，…，2n-1，-1，-2，…，1-n｝，P（T）＝2n＋n-1＝3n-1。

再对数列A₀依次作如下变换：

把一个1移为2n的后一项，得到数列A₁：1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，1，

此时T＝｛0，1，2，3，…，2n-1，-1，-2，…，1-n，1-2n｝，P（T）＝3n；

再把一个2移为2n的后一项：得到数列A₂：1，2，3，3，4，4；…，n，n，2n，2，1，

此时T＝｛0，1，2，3，…，2n-1，-1，-2，…，1-n，1-2n，2-2n｝，P（T）＝3n＋1；

依此类推……

最后把一个n移为2n的后一项：得到数列A_n：1，2，3，4，…，n，2n，n，n-1，…，2，1，

此时T＝（0，1，2，3，…，2n-1，-1，-2，…，1-n，1-2n，2-2n，…，-n｝，P（T）＝4n-1。

综上所述，P（T）可以取到从2n到4n-1的所有2n个整数值，所以P（T）的取值个数为2n。 15分