北京师大附中2020—2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷

本试卷考试时长120分钟，满分150分。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数对应的点位于( )

(A)第一象限 (B)第一象限 (C)第一象限 (D)第一象限

2．椭圆的离心率为( )

(A)
(B)
(C)

（D）

3．的展开式中x²的系数是( )

(A)8 (B)7 (C)6 (D)4

4．某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是( )

(A) p³ (B)p³（1-p） (C)
(D)

5．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上且横坐标为3，则|PF|等于( )

(A)4 (B)6 (C)8 (D) 10

6．已知双曲线
的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为(2，0)，则双曲线C的方程为( )

(A)
(B) (C)
(D)

7．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )

(A)若m∥α，n∥α，则m∥n (B)若m⊥α，nα，则m⊥n

(C)若m⊥α，m⊥n，则n∥α (D)若m∥α ，m⊥n，则n⊥α

8．已知F₁，F₂是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF₁F₂为等腰三角形，∠F₁F₂P=120°，则C的离心率为( )

(A)
(B)
(C)
(D)

9．万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律．十二平均律包括六个阳律（黄钟、太族、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟）．现从这十二平均律中取出2个阳律和2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律( )

(A) 450种 (B) 900种 (C) 1350种 (D) 1800种

10．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，在正方形DD₁C₁C中有一动点P，满足PD₁⊥PD，则直线PB与平面DD₁C₁C所成角中最大角的正切值为( )

(A)1 (B)
(C)
(D)

二、填空题
共6小题，每小题5分，共30分。

11．若复数z=i·（1-i），则|z|=____________．

12．若直线2x-y-5=0与直线x+ay+3=0相互垂直，则实数a=____________．

13．盒子里有20个形状、大小、质地相同的小球，其中有8个白色的，6个红色的，6个黑色的，从盒子里任意取出一个球，已知这个球不是黑球，则取出的球是红球的概率是____________．

14．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设AD=AA₁=1，AB=2，则____________，____________.

15．已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为坐标原点．右表给出坐标的五个点中，有两个点在C₁上，另有两个点在C₂上．则椭圆C₁的方程为____________ ，C₁的左焦点到C₂的准线之间的距离为____________.

16．已知曲线C的方程，有以下说法：

①曲线C过原点

②曲线C与x轴有两个交点

③曲线C关于x轴，y轴对称

④P(x，y)为曲线C上任意一点，则|y|≤1

请写出所有正确的序号________________．

三、解答题
共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C三道工序加工的元件合格率分别为、、，已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．

(I)生产一个元件，求该元件为一等品的概率；

(II)生产一个元件，求该元件为二等品的概率；

(III)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率。

18．已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AB=BC= ，AC=2.

(I)求证：平面PAC⊥平面ABC；

(II)求二面角A-PC-B的余弦值；

(III)若点M在线段PC上，满足，，点N在线段PB上，且BM⊥AN，求的取值范围．

19．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如下：

(I)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；

(II)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(III)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）

20．如图，在四棱锥M-ABCD中，AB∥CD，∠ADC=∠BMC=90°，MB=MC，，平面BCM⊥平面ABCD．

(I)求证：CD∥平面ABM：

(II)求证：AC⊥平面BCM；

(III)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角E-BC-M的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；

(III)设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ= 90°，求证：AQ∥BM．

22．已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为．

( I)求椭圆C的方程和焦点的坐标。

( II)点P在椭圆C上，且点P不在x轴上，线段AP的垂直平分线与y轴相交于点Q，若△PAQ为等边三角形，求点P的横坐标．

参考答案

一、选择题
共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题
共6小题，每小题5分，共30分。

11． 12．2; 13．

14．，1； 15．， 16．②③；

三、解答题
共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．解：(I)不妨设元件经A，B,C三道工序加工合格的事件分别为A，B，C.

所以.

则该元件为一等品的概率为.

(II)设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品“．

由已知A，B，C是相互独立事件．

根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，

.

所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为．

(III)生产一个元件，该元件为一等品的概率为.

设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品“，则

.

所以至少有2个元件是一等品的概率为．

18．解：

(I)

设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意

PA=PB=PC=
，PO =1,AO=BO=CO=1

因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点

所以PO⊥AC，

因为在△POB中，PO=1，OB=1，PB=

所以PO⊥OB

因为AC
OB=O，AC，OB 平面ABC

所以PO⊥平面ABC

因为PO
平面PAC

所以平面PAC⊥平面ABC

(II)由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则

O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0)，A(-1,0,0)，P(0,0,1)

由OB⊥平面APC，故平面APC的法向量为=(0，1，0)

由=（1，-1，0）， =（1，0，-1）

设平面PBC的法向量为，则

由
得：

令x=1，得y=1，z=1，即
=(1，1，1)

，由于二面角A-PC-B是锐二面角，所以二面角A-PC-B的余弦值是；

（III）设，则

令

得

即，μ是关于λ的单调递增函数，

当时，，
所以.

19．解：(I)由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，

故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为万人．

(II)由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，

由题意，随机变量X的所有可能取值为：0，1，2.

且.

所以随机变量X的分布列为：

所以

(III)m的最小值为4．

20．证明：(I)因为AB∥CD，

AB

平面ABM，

CD
平面ABM，

所以CD∥平面ABM．

(II)取AB的中点N，连接CN．

在直角梯形ABCD中，

易知AN=BN=CD=
，且CN⊥AB，

在Rt△CNB中，由勾股定理得BC=2.

在△ACB中，由勾股定理逆定理可知AC⊥BC.

又因为平面BCM⊥平面ABCD，

且平面BCM
平面ABCD=BC，

所以AC⊥平面BCM． …………7分

(III)取BC的中点O，连接OM，ON．

所以ON∥AC，

因为AC⊥平面BCM，

所以ON⊥平面BCM．

因为BM=MC，

所以OM⊥BC．

如图建立空间直角坐标系O-xyz，

则M(0,0,1),B(0,1,0),C(0，-1,0),A(2,-1,0),

易知平面BCM的一个法向量为m=(1，0，0)．

假设在棱AM上存在一点E，使得二面角E-BC-M的大小为

不妨设（0≤λ≤1），

所以=（2-2λ，λ-2，λ），

设n=（x，y，z）为平面BCE的一个法向量，

则即

令x=λ，z=2λ-2，所以n=（λ，0，2λ-2）．

从而.

解得
或λ=2.

因为0≤λ1，所以λ=
.

由题知二面角E-BC-M为锐二面角，

所以在棱AM上存在一点E，使得二面角E-BC-M的大小为，

此时.

21．解：(I)由题意，得c²=a²-2，，

解得a=2，c=
，所以椭圆C的方程为.

( II)设P(0，m)，由点P在椭圆C的内部，得，

又因为A(-2，0)，

所以直线AM的斜率，

又因为M是椭圆C上异于A，B的一点，

所以.

(III)由题意，设Q(0，y₁)，M(x₀，y₀)，其中x₀≠±2，

则

直线AM的方程为

令x=0，得点P的坐标为

由∠PFQ=90°，得，

所以，

即，解得，所以.

因为，

所以

故k_BM=k_AQ，即AQ//BM．

22．解：(I)依题意，有

所以b² =2

所以椭圆方程为

所以

焦点坐标分别为,

(II)设P(x₀,y₀)，则，且A(-2,0)，x₀≠±2，y₀≠0．

设线段PA中点为M，所以

因为PA⊥MQ，所以

因为直线PA的斜率

所以直线MQ的斜率

又直线MQ的方程为

令x=0，得到

因为

所以

因为△PAQ为正三角形，

所以|AP|=|AQ|，即

化简，得到，解得（舍）

即点P的横坐标为.