北京市西城区2020－2021学年下学期高一年级期末考试数学试卷
本试卷共150分。考试时长120分钟。
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设向量
，则
＝
A. 11 B. 9 C. 7 D. 5
2. sin330°＝
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则复数
＝
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 函数
的最小正周期是
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 若
，则符合条件的角
有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 函数
（其中
）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式是
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 向量
与
的夹角为
A. 30° B. 40° C. 60° D. 90°
9. 在△ABC中，角
所对的边分别为
，则”
“是”
“的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知单位向量
满足
，若非零向量
，其中
，则
的最大值为
A. 
B. 
C. 
D. 
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
11. 设复数
，则
＝_________。
12. 已知半径为r的球的表面积为36πcm2，那么半径为2r的球的表面积为__________cm2。
13. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。若
，则A＝_________。
14. 已知向量
满足
，那么
＝__________。
15. 设函数
，有以下四个结论：
①函数
是周期函数；
②函数
的图象是轴对称图形；
③函数
的图象关于坐标原点对称；
④函数
存在最大值。
其中，所有正确结论的序号是____________。
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16. （本小题13分）
已知
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值。
17. （本小题14分）
如图，在四棱柱
中，
⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，且
。
（Ⅰ）求三棱锥
的体积；
（Ⅱ）求证：BC∥平面
；
（Ⅲ）求证：
。
18. （本小题13分）
在△ABC中，
。
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求
的值。
19. （本小题15分）
已知函数
同时满足下列三个条件中的二个：
①
； ②最大值为2；
③最小正周期为π。
（Ⅰ）求出所有可能的函数f（x），并说明理由；
（Ⅱ）从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间。
20. （本小题15分）
如图，在正方体
中，
，E为
的中点，O为
的中点。
（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；
（Ⅱ）求证：EO⊥平面
；
（Ⅲ）设P为正方体
棱上一点，给出满足条件
的点P的个数。（结论不要求证明）
21. （本小题15分）
设函数
的定义域为R，若存在常数T，
，使得对于任意
，
成立，则称函数
具有性质P。
（Ⅰ）判断函数
和
具有性质P？（结论不要求证明）
（Ⅱ）若函数
具有性质P，且其对应的
。已知当
时，
，求函数
在区间
上的最大值；
（Ⅲ）若函数g（x）具有性质P，且直线x＝m为其图像的一条对称轴，证明：g（x）为周期函数。
【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1. D 2. B 3. B 4. A 5. A
6. C 7. C 8. B 9. C 10. D
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 
12. 
13. 
14. 
15. ②④
注：第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题：本大题共6小题，共85分。其他正确解答过程，请参照评分标准给分。
16. （本小题13分）
解：（Ⅰ）由
， 3分
解得
。 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
，① 6分
又因为
， ② 8分
联立①②，解得
或
11分
所以
。 13分
17. （本小题14分）
（Ⅰ）解：因为在四棱柱
中，BB1⊥平面
，∠BAD＝90°，
所以三棱锥
的体积
。 3分
（Ⅱ）证明：因为AD∥BC，
平面
平面
，
所以BC∥平面
。 6分
（Ⅲ）证明：因为
⊥平面ABCD，AC
平面ABCD，
所以BB1⊥AC。 8分
又因为AC⊥BD，
，
所以AC⊥平面
， 11分
又因为
平面
，
所以AC⊥
。 14分
18. （本小题13分）
解：（Ⅰ）由余弦定理
， 3分
得
，
解
（舍）或
， 5分
由
，得
。 7分
所以△ABC的面积
。 9分
（Ⅱ）由余弦定理，得
， 11分
所以
。 13分
19. （本小题15分）
解：（Ⅰ）
， 3分
若函数
满足条件①②：
由条件①：
，得
，即
，
所以当
时，
有最大值3，
这与②矛盾。即函数f（x）不能同时满足条件①②。 5分
若函数f（x）满足条件①③：
由条件①，得m＝1。
由条件③，得
，解得
，
所以此时
， 7分
若函数f（x）满足条件②③：
又因为
，
所以当
时，
的最大值
，
解得
。
由条件③，得
，解得
，
所以
。 9分
综上，
或
。
（Ⅱ）不妨选择函数
，
由
， 11分
得
， 13分
所以函数f（x）的单调增区间为
。 15分
（注：单调区间写成开区间亦可。）
20. （本小题15分）
（Ⅰ）证明：在正方体
中，
因为
⊥平面
平面
，
所以平面
⊥平面
。 4分
（Ⅱ）证明：连接AC，设
,连接OG，
因为
为正方体，
所以AE∥
，且
，且G是BD的中点，
又因为O是
的中点，
所以
∥
，且
，
所以OG∥AE，且
，
即四边形AGOE是平行四边形，
所以EO∥AG。 6分
由正方体
，得
⊥平面ABCD，AG⊥BD，
所以
⊥AG，
又因为
，
所以AG⊥平面
， 9分
所以EO⊥平面
。 11分
（Ⅲ）解：满足条件
的点P有12个。 15分
21. （本小题15分）
解：（Ⅰ）函数
不具有性质P；函数
具有性质P。 3分
（Ⅱ）设
，则
， 4分
由题意，得
，
所以
。 6分
由
，得
，
所以当
时，
， 7分
故当
在区间
上有最大值
。 9分
（Ⅲ）当
时，结论显然成立； 10分
以下考虑
不恒等于0的情况，即
，使得
，
由直线
为函数
图象的一条对称轴，得
， 12分
由题意，
，使得
成立，
所以
，即
。
由直线
为函数
图象的一条对称轴，得
。
又因为
，
所以
，即
，
故对于任意
成立，其中
，
综上，
为周期函数。 15分