北京101中学2020-2021学年上学期高一年级期末考试数学试卷

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知函数的定义域为M，函数的定义域为N，则MN=（
）

A. M B. N C. {4} D.

2. sin2021°可化简为（
）

A. sin41° B. -sin41° C. cos41° D. -cos41°

3. 向量“a，b不共线“是“| a+ b|<| a|+| b |“的（
）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 函数，x∈（–]的值域为（
）

A. [-） B. [-] C. [-] D. [-）

5. 已知偶函数在（–，0）上单调递减，若a=f（1），b=f（2），c=f（–），则a，b，c的大小关系为（
）

A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. c>a>b

6. 甲、乙两人解关于x的方程：log₂x+b+clog_x2=0，甲写错了常数b，得到根为x=，x=；乙写错了常数c，得到根为x=，x=64。那么原方程的根正确的是（
）

A. x=4 B. x=3 C. x=4或x=8 D. x=2或x=3

7. 已知2cos²-3 sin²=1，∈（–，–），那么tan的值为（
）

A. 2 B. -2 C. D. –

8. 如图所示的是函数y=sinx（0≤x≤）的图像，A（x，y）是图像上任意一点，过点A作x轴的平行线，交图像于另一点B（A，B可重合）。设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图像是（
）

A B C D

9. 已知3 sin（–）-sin（+）=-，则cos-sin的取值可以为（
）

A. B. C. – D. –

10. 如图，一个摩天轮的半径为10 m，轮子的最低处距离地面2m，如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17 m的时间大约是（
）

A. 8分钟 B. 10分钟 C. 12分钟 D. 14分钟

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 已知向量a=（1，-2），b=（x，4），且a∥b，则实数x=_______________。

12. 若角与角=的终边关于直线y=x对称，则角的终边上的所有角的集合可以写为___________。

13. 已知幂函数f（x）=（m-1）²在（0，+）上单调递增，则实数m的值为________。

14. 在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c与xa+yb（x，y为非零实数）共线，则的值为_________。

15. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常。排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm（ppm为浓度单似，1ppm表示百万分之一）。经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系y=2^7-mt（m为常数）。求得m=________；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，那么至少需要排气________分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态。

16. 已知△ABC，点P是平面上任意一点，且=+（，∈R），给出以下命题：

①若=，=，则P为△ABC的内心；

②若==1，则直线AP经过△ABC的重心；

③若+=1，且>0，则点P在线段BC上；

④若+>1，则点P在△ABC外；

⑤若0<+<1，则点P在△ABC内。

其中真命题为_________。

三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. （本小题12分）

已知函数f（x）=1+（-2<x≤2）。

（1）求函数f（x）的值域；

（2）若函数g（x）=log_ax的图像与函数f（x）的图像有交点，请直接写出实数a的取值范围。

18.（本小题12分）

已知关于x的方程2x²–bx+=0的两根为sin和cos，∈（，）。

（1）求实数b的值；

（2）求的值。

19.（本小题13分）

已知函数f（x）=，g（x）= 。

（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；

②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；

（2）计算：f（）-5 f（）g（）=__________；

f（4）-5f（2）g（2）=___________；

f（9）-5f（3）g（3）=___________；

（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明。

20. （本小题13分）

设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作：A=（a₁，a₂，…，a_i…，a_n）。其中a_i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a_i的下标。如果数组S=（b₁，b₂，…，b_m）（m≤n，m∈N₊）中的每个“元“都是来自数组A中不同下标的“元“。则称S为A的“子数组“。定义两个数组A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）的“关系数“为C（A，B）= a₁ b₁+ a₂ b₂+…+ a_nb_n。

（1）若A=（–，），B=（b₁，b₂, b₃，b₄），且B中的任意两个“元“互不相等，B的含有两个”元“的不同“子数组“共有p个，分别记为S₁，S₂，…，S_p。

①p=________；

②若b_j∈N₊，1≤b_j≤101（j=1，2，3，4），记X=，求X的最大值与最小值；

（2）若A=（，，），B=（0，a，b，c），且a²+b²+c²=1，S为B的含有三个“元“的“子数组“，求C（A，S）的最大值。

参考答案

1. D 2. B 3. A 4. B 5. C 6. C 7. D 8. A 9. C 10. B

11. -2 12. {|=-+2k，k∈Z} 13. 0

14. 15. ；32 16. ②④

17. （1）当0≤x≤2时，f（x）=1+=1；

当-2<x<0时，f（x）=1+=1-x。

所以f（x）=

函数的值域为[1，3）。

（2）实数a的取值范围是（0，1）（1，2]。

18. （1）因为sin，cos为关于x的方程的两根，

所以

由②③，得，解得b=±，此时△=5-2>0，

又∈（），所以sin+cos>0，所以b=。

（2）由（1），得sin+cos=，又∈（），所以sin>cos，

所以cos-sin===-，

所以。

19. （1）①因为函数f（x）的定义域是（–，0）（0，+），所以定义域关于原点对称。

又因为f（–x）=，

所以函数f（x）是奇函数。

②函数f（x）的单调递增区间为（–，0），（0，+）。

证明：在（0，+）上任取x₁，x₂，且x₁< x₂，

则（x₁）<（ x₂），（x₂）<（ x₁），从而

f（x₁）–f（x₂）=<0，

即f（x₁）<f（x₂），所以f（x）=在（0，+∞）上单调递增。

又因为f（x）是奇函数，所以f（x）在（-∞，0）上也单调递增。

所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（0，+∞）。

（2）0，0，0．

（3）由（2）推测出一个等式：f（x²）-5f（x）g（x）=0（x≠0）。

证明如下：f（x²）-5f（x）g（x）

=

所以f（x²）-5f（x）g（x）=0（x≠0）成立。

20. （1）①12。

②X=（|b₁– b₂|+| b₁– b₃|+| b₁– b₄|+| b₂– b₁|+| b₂– b₃|+| b₂– b₄|

+| b₃– b₁|+| b₃– b₂|+| b₃– b₄|+| b₄– b₁|+| b₄– b₂|+| b₄– b₃|）

=| b₁– b₂|+| b₁– b₃|+| b₁– b₄|+| b₂– b₃|+| b₂– b₄|+| b₃– b₄|。

因为B中的任意两个“元“互不相等，不妨设b₁< b₂< b₃< b₄，则X=3 b₄+ b₃– b₂-3 b₁。

又1≤b₃– b₂≤98，3≤b₄– b₁≤100，所以10≤X≤398。

当b₁=l，b₂=2，b₃=100，b₄=101时，X取最大值398。

当b₁=l，b₂=2，b₃=3，b₄=4时，X取最小值10。

（2）①当0是S中的“元“时，根据B中a，b，c三个“元“的对称性，

可只求解C（A，S）=（a+b）的最大值，其中a²+b²+c²=1。

因为（a+b）²=a²+b²+2ab≤2（a²+b²）≤2（a²+b²+c²）=2，

所以–≤a+b≤。

当且仅当a=b=，c=0时，a+b达到最大值，

从而C（A，S）_max=。

②当0不是S中的“元”时，即求解C（A，S）=（a+b+c）的最大值，

其中a²+b²+c²=1。

因为（a+b+c） ²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤3（a²+b²+c²）=3，

所以当且仅当a=b=c=时，a+b+c取得最大值，

此时C（A，S）_max=（a+b+c）=1。

综上，C（A，S）的最大值为1。